QCM : Nombres réels et encadrements — 6 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des écritures caractérise un nombre décimal ?

an\frac{a}{n}, avec a∈Na\in\mathbb{N} et n∈Zn\in\mathbb{Z}
a10n\frac{a}{10^n}, avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}
a×10na\times 10^n, avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}
a3n\frac{a}{3^n}, avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}

$$\frac{a}{10^n}$$, avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, avec un numérateur entier relatif. Une fraction de dénominateur 3n3^n ne répond pas à cette caractérisation, même si certaines fractions peuvent être simplifiées.

2. Qu'est-ce qu'un nombre décimal selon la définition donnée dans le cours?

Un nombre qui est toujours rationnel et ne peut pas être irrationnel.
Un nombre qui ne peut pas s'écrire sous une forme fractionnaire.
Un nombre pouvant s'écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n}\\, avec a entier relatif et n entier naturel.
Un nombre qui peut être exprimé uniquement par une fraction dont le dénominateur est une puissance de 2.

Un nombre pouvant s'écrire sous la forme $$\\frac{a}{10^n}\\$$, avec a entier relatif et n entier naturel.

Explication

Un nombre décimal est défini comme un nombre pouvant s'écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n}\\, où a est un entier relatif et n un entier naturel. La réponse incorrecte mentionne une restriction sur le dénominateur qui n'est pas conforme à la définition.

3. Dans une preuve par l’absurde montrant que 13\frac{1}{3} n’est pas un nombre décimal, quelle contradiction obtient-on après avoir posé 13=a10n\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n} ?

On obtient a=310na=\frac{3}{10^n}, qui n’est pas rationnel pour toute valeur de nn.
On obtient a=3×10na=3\times10^n, qui n’est pas naturel lorsque nn est positif.
On obtient a=10n3a=\frac{10^n}{3}, qui n’est pas entier car 10n10^n n’est pas divisible par 3.
On obtient a=10n−3a=10^n-3, qui devient négatif lorsque nn est nul.

On obtient $$a=\frac{10^n}{3}$$, qui n’est pas entier car $$10^n$$ n’est pas divisible par 3.

Explication

L’hypothèse conduit à a=10n3a=\frac{10^n}{3}, mais aucune puissance de 10 n’est divisible par 3, donc cette valeur n’est pas un entier. Cela contredit la condition a∈Za\in\mathbb{Z} requise pour une écriture décimale.

4. Selon le cours, sous quelle forme un nombre décimal peut-il s’écrire en utilisant une fraction ?

a5n\frac{a}{5^n}, où a est un entier relatif et n un entier naturel
a10n\frac{a}{10^n}, où a est un entier relatif et n un entier naturel
a2n\frac{a}{2^n}, où a est un entier naturel et n un entier positif
a3n\frac{a}{3^n}, où a est un entier relatif et n un entier naturel

$$\frac{a}{10^n}$$, où a est un entier relatif et n un entier naturel

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n}, avec a entier relatif et n entier naturel, ce qui correspond à sa représentation décimale. La forme a2n\frac{a}{2^n} ou a5n\frac{a}{5^n} ne garantit pas une représentation décimale finie, contrairement à la première.

5. Que signifie encadrer un réel xx à 10−n10^{-n} près par des nombres décimaux aa et bb ?

Vérifier que a≤x≤ba\le x\le b et que b−a=10−nb-a=10^{-n}.
Vérifier que a<x<ba<x<b et que a+b=10−na+b=10^{-n}.
Vérifier que a=x−10−na=x-10^{-n} et que b=x+10−nb=x+10^{-n}.
Vérifier que a≤x≤ba\le x\le b et que a×b=10−na\times b=10^{-n}.

Vérifier que $$a\le x\le b$$ et que $$b-a=10^{-n}$$.

Explication

Un tel encadrement place xx entre deux nombres décimaux et impose à l’intervalle l’amplitude b−a=10−nb-a=10^{-n}. La somme ou le produit des bornes ne définit pas l’amplitude de l’encadrement.

6. Un encadrement décimal de xx est donné par 2,31≤x≤2,322{,}31\le x\le2{,}32. À quelle précision cet encadrement est-il réalisé ?

À 10210^{2} près, car les bornes sont proches de 2.
À 10−110^{-1} près, car ses bornes comportent deux chiffres décimaux.
À 10−210^{-2} près, car son amplitude vaut 2,32−2,31=0,012{,}32-2{,}31=0{,}01.
À 10−310^{-3} près, car l’intervalle contient des nombres décimaux.

À $$10^{-2}$$ près, car son amplitude vaut $$2{,}32-2{,}31=0{,}01$$.

Explication

L’amplitude de l’intervalle est 0,01=10−20{,}01=10^{-2}, ce qui correspond à un encadrement à 10−210^{-2} près. Le nombre de chiffres après la virgule suggère cette valeur, mais c’est surtout la différence entre les bornes qui la justifie.

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Comment s'écrit un nombre décimal en fraction ?

Sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec a entier relatif et n entier naturel.

Nombres décimaux

Peuvent s’écrire comme a/10^n

Pourquoi 1/3 n'est-il pas un nombre décimal ?

Parce que a=10n3a=\frac{10^n}{3} n'est pas entier, la puissance de 10 n'étant jamais divisible par 3.

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