Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Rationnels et irrationnels
3. Ordre et encadrement des réels
4. Intervalles et inégalités
5. Réunion et intersection
6. Valeur absolue et distance
7. Opposé et inverse
8. Calculs et racines carrées

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombres dont l’écriture décimale est finie.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon l’inclusion $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

📖 2. Rationnels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Peut s’écrire comme une fraction d’entiers dont le dénominateur est non nul.
• Nombre irrationnel : Ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux entiers et son écriture décimale est infinie et non périodique.

📝 Points essentiels

• L’écriture décimale d’un nombre rationnel est finie ou périodique.

• $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont des nombres irrationnels.

• $\sqrt{9}=3$, donc une racine carrée peut être un entier et n’est pas toujours irrationnelle.

💡 Astuce mémo

Le rationnel se met en fraction ; l’irrationnel ne le peut pas.

📖 3. Ordre et encadrement des réels

★ À maîtriser

• Chaque nombre réel correspond à un point sur une droite graduée, et un nombre situé plus à droite est plus grand.

📌 Parmi deux nombres négatifs, celui qui est le plus proche de zéro est le plus grand.

Compléments

• L’encadrement au dixième de $\sqrt{2}$ est $1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5$.

📌 Les signes $<$ et $>$ indiquent une inégalité stricte, tandis que $\le$ et $\ge$ autorisent l’égalité.

💡 Astuce mémo

Sur la droite graduée, avancer vers la droite fait grandir les nombres.

📖 4. Intervalles et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble de nombres réels compris entre deux bornes.

★ À maîtriser

• Dans la notation $[a;b]$, les deux bornes sont incluses, tandis que dans $]a;b[$, elles sont exclues.

Compléments

📌 Dans $[a;b[$, $a$ est inclus et $b$ est exclu, tandis que dans $]a;b]$, $a$ est exclu et $b$ est inclus.

📌 Dans un intervalle dont une borne est infinie, cette borne est toujours exclue.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 5. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Contient les nombres qui appartiennent aux deux intervalles.
• Réunion : Contient les nombres qui appartiennent à au moins l’un des deux intervalles.

📝 Points essentiels

• $[1;5]\cap[3;7]=[3;5]$.

• $[1;3]\cup[3;5]=[1;5]$, car les intervalles se rejoignent en $3$, inclus dans chacun.

💡 Astuce mémo

L’intersection garde le commun ; la réunion prend l’un ou l’autre.

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance entre $x$ et zéro et elle est toujours positive ou nulle.

★ À maîtriser

• La distance entre deux nombres $a$ et $b$ se calcule avec $|a-b|$.

Compléments

📐 Formule - $|x|\le3\quad\Longleftrightarrow\quad -3\le x\le3$.

📐 Formule - $|x|>3\quad\Longleftrightarrow\quad x<-3\ \text{ou}\ x>3$.

💡 Astuce mémo

Visualiser |x| comme la longueur du trajet entre zéro et x.

📖 7. Opposé et inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Opposé : $-x$ ; un nombre et son opposé ont la même distance à zéro, mais des signes contraires.
• Inverse : Défini si $x\ne0$, est $\frac{1}{x}$.

📝 Points essentiels

• Zéro a pour opposé zéro, mais il n’a pas d’inverse.

💡 Astuce mémo

L’opposé change le signe ; l’inverse place le nombre au dénominateur.

📖 8. Calculs et racines carrées

★ À maîtriser

📌 Dans un produit ou un quotient, deux nombres de même signe donnent un résultat positif et deux nombres de signes différents donnent un résultat négatif.

• 🔄 On effectue les opérations dans l’ordre suivant :
  1. Les parenthèses.
  2. Les puissances et les racines.
  3. Les multiplications et les divisions.
  4. Les additions et les soustractions.

📌 Dans $\mathbb{R}$, $\sqrt{a}$ existe seulement si $a\ge0$, et $\sqrt{a^2}=|a|$.

Compléments

📌 On ne peut pas diviser par zéro.

• En général, $\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$ ; par exemple, $\sqrt{9+16}=5$ alors que $\sqrt9+\sqrt{16}=7$.