Fiche de révision : Révision de mathématiques au brevet

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Pythagore
2. Réciproque et contraposée de Pythagore
3. Repérage des côtés trigonométriques
4. Calculs trigonométriques
5. Théorème de Thalès
6. Équations du premier degré
7. Proportionnalité et échelles
8. Pourcentages et évolutions
9. Rédaction des exercices au brevet

📖 1. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : Le côté opposé à l’angle droit et le plus long côté d’un triangle rectangle.

★ À maîtriser

• Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans un triangle rectangle et permet de calculer une longueur lorsque les deux autres sont connues.

📐 Formule - Dans le triangle ABC rectangle en A, $BC^2=AB^2+AC^2$, où BC est l’hypoténuse.

• Pour calculer l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés puis on prend la racine carrée du résultat.

Compléments

• Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 4 cm et 3 cm, l’hypoténuse mesure 5 cm.

• Pour calculer un côté de l’angle droit, on soustrait le carré de l’autre côté connu au carré de l’hypoténuse, puis on prend la racine carrée.

📖 2. Réciproque et contraposée de Pythagore

★ À maîtriser

• La réciproque du théorème de Pythagore sert à démontrer qu’un triangle est rectangle lorsque ses trois longueurs sont connues.

• Pour appliquer la réciproque de Pythagore, on repère le plus grand côté, on calcule son carré, on calcule la somme des carrés des deux autres côtés, puis on compare les résultats.

📌 Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Compléments

• Un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm est rectangle, car $5^2=3^2+4^2=25$.

💡 Astuce mémo

Réciproque : égalité donc rectangle ; contraposée : inégalité donc non rectangle.

📖 3. Repérage des côtés trigonométriques

★ À maîtriser

• La trigonométrie permet de calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle et s’utilise uniquement dans un triangle rectangle.

• Les côtés opposé et adjacent sont définis par rapport à l’angle choisi et peuvent donc dépendre de cet angle.

Compléments

• Le côté opposé à un angle choisi est le côté situé en face de cet angle.

• Le côté adjacent à un angle choisi touche cet angle sans être l’hypoténuse.

• L’hypoténuse est le côté situé en face de l’angle droit.

📖 4. Calculs trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un angle a, $\cos(a)=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.

📐 Formule - Pour un angle a, $\sin(a)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

📐 Formule - Pour un angle a, $\tan(a)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

• Pour calculer un angle à partir de deux côtés, on choisit la formule trigonométrique correspondant à ces côtés puis on utilise sa fonction inverse sur la calculatrice.

Compléments

• Le moyen mnémotechnique CAH-SOH-TOA associe CAH au cosinus égal à adjacent sur hypoténuse, SOH au sinus égal à opposé sur hypoténuse et TOA à la tangente égale à opposé sur adjacent.

• Pour calculer une longueur par trigonométrie, on repère l’angle connu, on identifie les côtés utiles, puis on choisit la formule qui contient la longueur connue et celle recherchée.

• Les fonctions inverses du cosinus, du sinus et de la tangente peuvent être notées respectivement $\cos^{-1}$ ou arccos, $\sin^{-1}$ ou arcsin, et $\tan^{-1}$ ou arctan.

• Avec un angle de 35° et une hypoténuse de 7 cm, le côté adjacent mesure environ 5,73 cm.

• La calculatrice doit être réglée en degrés pour les calculs trigonométriques de ce cours.

💡 Astuce mémo

CAH-SOH-TOA

📖 5. Théorème de Thalès

★ À maîtriser

• Le théorème de Thalès sert à calculer des longueurs lorsque des droites sont parallèles et que des points sont alignés.

📐 Formule - Dans le triangle ABC, si A, M et B sont alignés, si A, N et C sont alignés et si $(MN)\parallel(BC)$, alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

• La réciproque de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles en vérifiant la configuration d’alignement et l’égalité des rapports correspondants.

Compléments

📌 Dans les rapports de Thalès, les longueurs correspondantes doivent être écrites dans le même ordre, du petit triangle au grand ou du grand au petit.

• Pour calculer une longueur avec Thalès, on écrit les rapports correspondants, on remplace les longueurs connues, puis on effectue le produit en croix et on résout.

📌 Pour utiliser Thalès, les alignements et le parallélisme nécessaires doivent être indiqués ou établis, et les longueurs comparées doivent correspondre.

📖 6. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Une égalité qui contient une inconnue, souvent notée x.

★ À maîtriser

• Résoudre une équation consiste à trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.

📌 Pour conserver l’égalité d’une équation, on effectue la même opération sur ses deux membres.

📌 Dans une équation produit nul, si un produit est nul, alors au moins l’un de ses facteurs est nul.

Compléments

• Pour résoudre une équation du premier degré, on regroupe les termes contenant x d’un côté, les nombres de l’autre, puis on divise par le coefficient de x.

• La solution de $2x-5=4x+7$ est $x=-6$.

• Pour vérifier une solution, on remplace l’inconnue par la valeur trouvée dans l’équation de départ et on vérifie que les deux membres sont égaux.

• Les solutions de $(3x-6)(x+4)=0$ sont $x=2$ et $x=-4$.

💡 Astuce mémo

Une équation est une balance : toute opération faite d’un côté se fait aussi de l’autre.

📖 7. Proportionnalité et échelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre toujours par le même nombre.
• Coefficient de proportionnalité : Le nombre par lequel on multiplie les valeurs d’une grandeur pour obtenir les valeurs de l’autre.
• Quatrième proportionnelle : Une valeur manquante dans une situation de proportionnalité.
• Échelle : Une échelle compare une distance sur un dessin ou une carte à la distance réelle.

★ À maîtriser

• Pour trouver une valeur manquante dans une situation de proportionnalité, on peut utiliser un tableau, le coefficient de proportionnalité ou le produit en croix.

Compléments

📌 Dans un tableau, une situation est proportionnelle si les quotients des valeurs correspondantes sont toujours les mêmes.

• Une échelle de 1:100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité.

📌 Avant un calcul d’échelle, les longueurs doivent être converties dans la même unité.

📖 8. Pourcentages et évolutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Un pourcentage est une proportion exprimée sur 100, de sorte que $p\%=\frac{p}{100}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour calculer p % d’une quantité N, on calcule $N\times\frac{p}{100}$.

📐 Formule - Pour une augmentation de p %, le coefficient multiplicateur est $1+\frac{p}{100}$.

📐 Formule - Pour une réduction de p %, le coefficient multiplicateur est $1-\frac{p}{100}$.

Compléments

📐 Formule - Le pourcentage représenté par une partie d’un total est $\frac{\text{partie}}{\text{total}}\times100$.

📌 Pour retrouver le prix initial après une augmentation ou une réduction, on divise le prix final par le coefficient multiplicateur.

• Après une réduction de 20 %, un article coûte 40 euros ; son prix initial était 50 euros, car $40\div0{,}80=50$.

• Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % correspond à un coefficient global de 0,99 et produit une baisse de 1 % par rapport au prix initial.

💡 Astuce mémo

Hausse : coefficient supérieur à 1 ; baisse : coefficient inférieur à 1.

📖 9. Rédaction des exercices au brevet

★ À maîtriser

• Pour rédiger une réponse à une question de calcul, on indique ce que l’on cherche, on nomme la propriété ou la formule, on remplace par les valeurs connues, on détaille les calculs, on donne le résultat avec son unité et on répond par une phrase.

Compléments

• Dans une démonstration, il faut expliquer pourquoi la propriété utilisée s’applique, par exemple préciser que le triangle est rectangle avant d’utiliser Pythagore.

• Pour une valeur approchée, on utilise le symbole ≈, on conserve les valeurs exactes dans les étapes et on arrondit à la fin selon la consigne.

• Le résultat d’un calcul de longueur doit comporter son unité et celui d’un angle doit comporter le symbole degré.

💡 Astuce mémo

Chercher, citer, remplacer, calculer, conclure.