Fiche de révision : Nombres réels et puissances

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Inclusions des ensembles
3. Puissances entières
4. Racines carrées

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : ensemble des entiers positifs ou nuls : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...}
• Entiers relatifs : ensemble de tous les entiers négatifs et positifs, incluant 0
• Nombres décimaux : ensemble des quotients qui s’écrivent sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel
• Nombres réels : contient tous les nombres rationnels et irrationnels
• Nombres irrationnels : Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, où a est un entier relatif et b un entier relatif non nul.

📝 Points essentiels

📌 Pour un entier naturel n, √n est soit un entier naturel lorsque n est un carré parfait, soit un irrationnel.

💡 Astuce mémo

Des naturels aux réels : N, Z, D, Q, R

📖 2. Inclusions des ensembles

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

• Tout entier relatif est un nombre décimal car tout entier a s’écrit $\frac{a}{1}=\frac{a}{10^0}$.

• Tout nombre décimal est rationnel car il s’écrit sous la forme $\frac{a}{10^n}$, qui est un quotient de deux entiers dont le dénominateur est non nul.

💡 Astuce mémo

Des poupées russes emboîtées : N dans Z, Z dans D, D dans Q, Q dans R

📖 3. Puissances entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Pour un entier naturel n, $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a ; par convention, $a^1=a$ et $a^0=1$ lorsque a ≠ 0.
• Puissance entière négative : Pour un entier naturel strictement positif n, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ; cette puissance est l’inverse de $a^n$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des exposants entiers relatifs, $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ lorsque a ≠ 0.

📐 Formule — Pour des exposants entiers relatifs, $(a^m)^n=a^{mn}$.

Compléments

📐 Formule — Pour des nombres réels a et b, $a^m b^m=(ab)^m$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$ lorsque b ≠ 0.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : produit ; exposant négatif : inverse

📖 4. Racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : nombre positif x tel que $x^2=a$ ; ainsi, $\sqrt a\times\sqrt a=a$

★ À maîtriser

📌 La racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas dans les nombres réels, car le carré d’un nombre réel est toujours positif ou nul.

📐 Formule — Pour tout nombre réel a, $\sqrt{a^2}=a$ si a > 0 et $\sqrt{a^2}=-a$ si a < 0.

Compléments

📐 Formule — Pour tous nombres réels positifs a et b, $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$.

📐 Formule — Pour tous nombres réels positifs a et b, $\sqrt{a^2b}=a\sqrt b$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$ lorsque b ≠ 0.

💡 Astuce mémo

√(a²) vaut a si a est positif, mais −a si a est négatif

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres