Fiche de révision : Nombres relatifs et démonstration

📋 Plan du Cours

1. Addition des nombres relatifs
2. Soustraction et sommes algébriques
3. Multiplication et division relatives
4. Priorité des opérations
5. Contre-exemple et affirmation
6. Étapes d’une démonstration

📖 1. Addition des nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres relatifs : Nombres positifs, de signe +, et nombres négatifs, de signe −.

★ À maîtriser

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on conserve leur signe et on additionne leurs distances à zéro.

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on conserve le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et on soustrait les deux distances à zéro.

• La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.

Compléments

• Pour calculer une somme de plusieurs nombres relatifs, on peut regrouper les nombres positifs et les nombres négatifs avant de les additionner.

💡 Astuce mémo

Même signe : on garde le signe ; signes différents : on garde celui de la plus grande distance à zéro.

📖 2. Soustraction et sommes algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme algébrique : Suite d’additions et de soustractions de plusieurs nombres relatifs.

★ À maîtriser

📌 Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé : on transforme la soustraction en addition et on remplace le second nombre par son opposé.

• 🔄 Pour calculer une somme algébrique :
  1. Transformer les soustractions en additions avec l’opposé
  2. Regrouper les nombres opposés, dont la somme vaut zéro
  3. Additionner séparément les nombres positifs et les nombres négatifs
  4. Additionner les deux résultats

Compléments

• Dans l’écriture simplifiée d’une somme algébrique, on omet le signe + devant les nombres positifs et les parenthèses autour des nombres relatifs.

💡 Astuce mémo

Soustraction → opposé → addition, puis regroupement.

📖 3. Multiplication et division relatives

📝 Points essentiels

• Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes différents est négatif.

• Pour un produit de plusieurs facteurs, le résultat est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif si ce nombre est impair.

• Le signe du quotient de deux nombres relatifs suit la même règle des signes que leur produit.

💡 Astuce mémo

Même signe donne un résultat positif ; signes différents, un résultat négatif.

📖 4. Priorité des opérations

★ À maîtriser

📌 Dans un calcul, on effectue d’abord les opérations entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, avant les additions et soustractions.

Compléments

📌 Les multiplications et divisions se calculent de gauche à droite, tout comme les additions et soustractions.

📌 Lorsqu’un calcul comporte un trait de fraction, on calcule d’abord le numérateur avant de calculer le dénominateur.

💡 Astuce mémo

Parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

📖 5. Contre-exemple et affirmation

🔑 Notions clés & Définitions

• Contre-exemple : Cas pour lequel une affirmation ne fonctionne pas et qui suffit à montrer qu’elle est fausse.

★ À maîtriser

📌 Une affirmation est vraie lorsqu’elle est vraie pour tous les cas possibles.

Compléments

• Un contre-exemple peut être un nombre ou une figure.

• L’affirmation « Si un nombre se termine par 4, alors c’est un multiple de 4 » est fausse ; 14 en est un contre-exemple.

💡 Astuce mémo

Un seul cas contraire → l’affirmation est fausse.

📖 6. Étapes d’une démonstration

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété démonstrative : Dans une démonstration, relie ce que l’on sait aux données à ce que l’on veut établir en conclusion, souvent sous la forme « Si…, alors… ».

★ À maîtriser

• Quelques exemples qui vérifient une propriété, même nombreux, ne suffisent pas à la démontrer.

• 🔄 Une démonstration mathématique comporte trois étapes :

  1. Les données
  2. La propriété ou définition
  3. La conclusion

• Les données sont ce qui est :

  • Indiqué dans l’énoncé
  • Codé sur la figure
  • Déjà démontré auparavant

Compléments

• Ce que l’on voit sur une figure peut être trompeur ; une démonstration exige donc un raisonnement rigoureux.

💡 Astuce mémo

Données → propriété → conclusion.