Fiche de révision : Notions fondamentales sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Fonction et vocabulaire associé
2. Domaine et ensemble image
3. Graphe et représentations graphiques
4. Applications et injection
5. Surjection, bijection et réciproque
6. Composition des fonctions

📖 1. Fonction et vocabulaire associé

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Correspondance d’un ensemble de départ E vers un ensemble d’arrivée F qui associe à tout élément de E au plus un élément de F.

📝 Points essentiels

• Dans la notation f : E → F, x ↦ y = f(x), E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée, x la variable ou l’argument, f(x) l’image de x et x un antécédent de f(x).

💡 Astuce mémo

La fonction est la correspondance ; f(x) est l’image obtenue.

📖 2. Domaine et ensemble image

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : Ensemble des éléments de E qui ont une image dans F.
• Ensemble image : Sous-ensemble de F formé par les images des éléments de E.

📝 Points essentiels

• Pour un sous-ensemble A de E, son image par f est le sous-ensemble f(A) de F formé des images des éléments de A.

💡 Astuce mémo

Le domaine part de E ; l’image arrive dans F.

📖 3. Graphe et représentations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Graphe : Ensemble des couples (x, f(x)) pour les éléments x de E qui ont une image par f.

★ À maîtriser

• Pour une fonction de ℝ dans ℝ, la représentation graphique est l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) et son équation est y = f(x).

Compléments

• Pour une fonction f : ℝ² → ℝ définie par (x,y) ↦ f(x,y), la représentation graphique est une surface de l’espace d’équation z = f(x,y).

📖 4. Applications et injection

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Fonction dont tout élément de E a une image dans F, ce qui équivaut à Df = E.
• Injection : Application pour laquelle deux éléments distincts de E ont des images distinctes, ce qui équivaut à f(x) = f(x′) entraînant x = x′.
• Fonction strictement monotone : Fonction réelle qui est sur A soit strictement croissante, soit strictement décroissante.

★ À maîtriser

• Si une fonction réelle est strictement monotone sur un intervalle I de son domaine, alors elle est injective sur I.

Compléments

• Une application injective de E dans F est une application pour laquelle tout élément de F admet au plus un antécédent dans E.

💡 Astuce mémo

Injection : au plus un antécédent ; application : chaque élément de E a une image.

📖 5. Surjection, bijection et réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Surjection : Application pour laquelle tout élément y de F possède au moins un antécédent x dans E, ce qui équivaut à Im(f) = F.
• Bijection : Une application f de E dans F est bijective si tout élément y de F possède un unique antécédent x dans E.
• Fonction réciproque : Bijection de F dans E qui à y associe l’unique x tel que y = f(x).

📝 Points essentiels

• L’injectivité s’analyse sur l’ensemble de départ, tandis que la surjectivité s’analyse sur l’ensemble d’arrivée ; ces deux propriétés sont indépendantes.

• Lorsque les ensembles de départ et d’arrivée sont identiques, la variable peut être renommée et la fonction réciproque s’écrit y = f⁻¹(x).

• Dans un repère orthonormé, les représentations graphiques de f et de f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

• Pour déterminer f⁻¹, on cherche les ensembles sur lesquels l’équation y = f(x) possède exactement une solution, puis on exprime x en fonction de y.

💡 Astuce mémo

Surjection : au moins un antécédent ; bijection : un unique antécédent.

📖 6. Composition des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition d’applications : Application qui associe à x de E l’élément g(f(x)) de G.
• Composée n fois : Pour une fonction f de E dans E, fⁿ désigne f composée avec elle-même n fois.

📝 Points essentiels

📌 Pour composer deux fonctions g∘f, l’ensemble image de f doit être inclus dans l’ensemble de définition de g.

• La composition des fonctions n’est généralement pas commutative : f∘g et g∘f peuvent être différents, et l’existence de l’une n’implique pas celle de l’autre.

📐 Formule - Pour une bijection f et sa réciproque, $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=I$, où I est l’application identité.

💡 Astuce mémo

D’abord f, puis g : x → f(x) → g(f(x)).