Fiche de révision : Oscillations et cinématique

📋 Plan du Cours

1. Oscillateur harmonique libre
2. Oscillateur soumis à une constante
3. Chute libre et conditions initiales
4. Dérivation et intégration du mouvement
5. Cinématique en base cartésienne
6. Cinématique en base cylindrique

📖 1. Oscillateur harmonique libre

★ À maîtriser

📐 Formule - La solution générale de l’oscillateur harmonique libre est $x(t)=A\cos(\omega_0t)+B\sin(\omega_0t)$, équivalente à $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$.

📐 Formule - Pour une position initiale $x(0)=X_0$ et une vitesse initiale $\dot{x}(0)=V_0$, la solution est $x(t)=X_0\cos(\omega_0t)+\frac{V_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t)$.

Compléments

📐 Formule - L’amplitude vérifie $X_m=\sqrt{X_0^2+\frac{V_0^2}{\omega_0^2}}$.

📐 Formule - Si $x(0)=X_0$ et $\dot{x}(0)=0$, alors $x(t)=X_0\cos(\omega_0t)$.

📖 2. Oscillateur soumis à une constante

★ À maîtriser

📐 Formule - La solution de l’équation homogène associée $\ddot{x}+\omega_0^2x=0$ est $x_1(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)$.

📐 Formule - Une solution particulière constante de $\ddot{x}+\omega_0^2x=K$ est $x_p=\frac{K}{\omega_0^2}$.

📐 Formule - La solution générale de $\ddot{x}+\omega_0^2x=K$ est $x(t)=X_m\cos(\omega_0t+\varphi)+\frac{K}{\omega_0^2}$.

Compléments

📐 Formule - L’équation de l’oscillateur soumis à une constante est $\ddot{x}+\omega_0^2x=K$.

• En posant $X=x-x_p$ avec $x_p=K/\omega_0^2$, on ramène l’équation forcée à l’équation homogène $\ddot{X}+\omega_0^2X=0$.

💡 Astuce mémo

La force constante décale l’équilibre de K/ω₀².

📖 3. Chute libre et conditions initiales

★ À maîtriser

📐 Formule - En chute libre avec l’axe vertical orienté vers le haut, l’accélération est $\vec a=(0,-g)$.

📐 Formule - Pour une vitesse initiale $\vec v_0=(v_0\cos\alpha,v_0\sin\alpha)$ et une position initiale $(0,h)$, la vitesse est $\vec v(t)=(v_0\cos\alpha,-gt+v_0\sin\alpha)$.

📐 Formule - Dans les mêmes conditions initiales, la position est $\overrightarrow{OM}(t)=(v_0\cos\alpha\,t,-\frac{gt^2}{2}+v_0\sin\alpha\,t+h)$.

Compléments

📐 Formule - Pour une chute libre sans vitesse initiale depuis la hauteur $h$, la position est $\overrightarrow{OM}(t)=(0,h-\frac{gt^2}{2})$.

📖 4. Dérivation et intégration du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé $f'(x)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse est la dérivée de la position et l’accélération est la dérivée de la vitesse : $\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$ et $\vec a=\frac{d\vec v}{dt}$.

Compléments

• La position s’obtient en intégrant la vitesse, et la vitesse en intégrant l’accélération.

💡 Astuce mémo

Accélération → vitesse → position ; dériver remonte la chaîne.

📖 5. Cinématique en base cartésienne

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans une base cartésienne fixe, la position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x_M\vec u_x+y_M\vec u_y+z_M\vec u_z$.

📐 Formule - Dans une base cartésienne fixe, la vitesse est $\vec v=(\dot{x}_M,\dot{y}_M,\dot{z}_M)$ et l’accélération est $\vec a=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

Compléments

• Les vecteurs de la base cartésienne fixe ont une dérivée temporelle nulle : $\frac{d\vec u_x}{dt}=\frac{d\vec u_y}{dt}=\frac{d\vec u_z}{dt}=0$.

📖 6. Cinématique en base cylindrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Base cylindrique : La base cylindrique mobile est $\left(\vec u_r,\vec u_\theta,\vec u_z\right)$, associée à la base cartésienne fixe $\left(\vec u_x,\vec u_y,\vec u_z\right)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les vecteurs de la base cylindrique vérifient $\frac{d\vec u_r}{dt}=\dot\theta\vec u_\theta$ et $\frac{d\vec u_\theta}{dt}=-\dot\theta\vec u_r$.

Compléments

📐 Formule - Dans le plan, la position en coordonnées cylindriques est $\overrightarrow{OM}=r\vec u_r$.

📐 Formule - Dans la base cylindrique, l’accélération s’écrit $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec u_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec u_\theta$.