QCM : Oscillations et cinématique (14 questions)

Question 1

1. Un oscillateur libre a pour conditions initiales $x(0)=3$ et $\dot{x}(0)=4$ , avec $\omega_0=2$ . Quelle expression décrit sa position au cours du temps ?

3\sin(2t)+2\cos(2t)

3\cos(2t)+2\sin(2t)

2\cos(2t)+3\sin(2t)

3\cos(2t)+4\sin(2t)

Explication

La solution avec ces conditions initiales est $x(t)=X_0\cos(\omega_0t)+\frac{V_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t)$ ; ici $V_0/\omega_0=4/2=2$ . Le coefficient 4 omet la division par la pulsation, tandis que les autres expressions attribuent incorrectement les conditions initiales aux termes trigonométriques.

Answer

$$3\cos(2t)+2\sin(2t)$$

Question 2

2. Pour un oscillateur libre ayant $X_0=3$ , $V_0=4$ et $\omega_0=2$ , quelle est son amplitude $X_m$ ?

\sqrt{7}

\sqrt{13}

5

\sqrt{5}

Explication

L’amplitude vaut $X_m=\sqrt{X_0^2+V_0^2/\omega_0^2}=\sqrt{9+16/4}=\sqrt{13}$ . $5$ omet la division par la pulsation, $\sqrt{5}$ soustrait les contributions, et $\sqrt{7}$ divise par $\omega_0$ plutôt que par $\omega_0^2$ .

Answer

$$\sqrt{13}$$

Question 3

3. Un oscillateur obéit à $\ddot{x}+9x=18$ . Quelle solution particulière constante peut-on choisir ?

x_p=-2

x_p=18

x_p=\frac{2}{9}

x_p=2

Explication

Pour une solution particulière constante, l’accélération est nulle et l’équation donne $9x_p=18$ , donc $x_p=2$ . $18$ omet le coefficient 9, $-2$ inverse le signe, et $2/9$ divise une seconde fois par ce coefficient.

Answer

$$x(t)=X_m\cos(2t+\varphi)+3$$

Answer

$$\ddot{X}+5X=0$$

Answer

$$\vec a=(0,-g)$$

Answer

$$\vec v(t)=(v_0\cos\alpha,-gt+v_0\sin\alpha)$$

Answer

$$\overrightarrow{OM}(t)=(v_0\cos\alpha\,t,-\frac{gt^2}{2}+v_0\sin\alpha\,t+h)$$

Answer

$$\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$$ et $$\vec a=\frac{d\vec v}{dt}$$

Answer

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe

Answer

$$2\vec u_x-3\vec u_y+5\vec u_z$$

Answer

$$2\vec u_x$$

Answer

$$4\vec u_\theta\,\mathrm{s}^{-1}$$

Answer

$$-18\vec u_r\,\mathrm{m\,s}^{-2}$$

Question 4

4. Un oscillateur soumis à une constante vérifie $\ddot{x}+4x=12$ . Quelle forme générale décrit son mouvement ?

x(t)=X_m\cos(2t+\varphi)+12

x(t)=X_m\cos(2t+\varphi)

x(t)=(X_m+3)\cos(2t+\varphi)

x(t)=X_m\cos(2t+\varphi)+3

Explication

La solution générale est la somme d’une oscillation homogène et du déplacement constant $K/\omega_0^2$ ; ici $12/4=3$ . L’expression sans décalage néglige la solution particulière, celle qui modifie l’amplitude la confond avec le décalage, et celle avec 12 omet la division par $\omega_0^2$ .

Question 5

5. Pour résoudre $\ddot{x}+5x=10$ , on pose $X=x-2$ . Quelle équation vérifie alors $X$ ?

\ddot{X}+5X=10

\ddot{X}+5X=0

\ddot{X}+5X=20

\ddot{X}-5X=0

Explication

Le décalage particulier vaut $x_p=K/\omega_0^2=10/5=2$ ; en posant $X=x-x_p$ , l’équation devient homogène, soit $\ddot{X}+5X=0$ . Les équations avec 10 ou 20 conservent un terme constant, tandis que le signe négatif devant $5X$ change incorrectement la dynamique.

Question 6

6. Un projectile se déplace en chute libre près de la Terre, avec l’axe vertical orienté vers le haut. Quelle accélération faut-il lui attribuer ?

\vec a=(0,-g)

\vec a=(-g,0)

\vec a=(v_0\cos\alpha,v_0\sin\alpha)

\vec a=(0,g)

Explication

Avec l’axe vertical orienté vers le haut, la pesanteur est dirigée vers le bas, donc l’accélération a pour composantes $\vec a=(0,-g)$ . Le signe positif inverse le sens vertical, la composante horizontale attribue la gravité au mauvais axe, et l’expression avec $v_0$ décrit la vitesse initiale.

Question 7

7. Un projectile part de la position $(0,h)$ avec une vitesse initiale de norme $v_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l’horizontale. Quelle expression donne sa vitesse à l’instant $t$ ?

\vec v(t)=(v_0\cos\alpha\,t,-\frac{gt^2}{2}+v_0\sin\alpha\,t+h)

\vec v(t)=(v_0\cos\alpha-gt,v_0\sin\alpha)

\vec v(t)=(v_0\cos\alpha,-gt+v_0\sin\alpha)

\vec v(t)=(v_0\cos\alpha,v_0\sin\alpha)

Explication

La composante horizontale de la vitesse reste $v_0\cos\alpha$ et la composante verticale devient $v_0\sin\alpha-gt$ sous l’effet de la pesanteur. L’expression constante oublie cette évolution, celle qui modifie la composante horizontale place mal la gravité, et l’expression avec $t$ et $h$ est celle de la position.

Question 8

8. Un projectile est lancé depuis $(0,h)$ avec une vitesse initiale de norme $v_0$ et un angle $\alpha$ par rapport à l’horizontale. Quelle expression donne sa position à l’instant $t$ ?

\overrightarrow{OM}(t)=(v_0\cos\alpha\,t,v_0\sin\alpha\,t+h)

\overrightarrow{OM}(t)=(v_0\cos\alpha\,t,-\frac{gt^2}{2}+v_0\sin\alpha\,t+h)

\overrightarrow{OM}(t)=(v_0\cos\alpha\,t,-\frac{gt^2}{2}+v_0\sin\alpha\,t)

\overrightarrow{OM}(t)=(v_0\cos\alpha,-gt+v_0\sin\alpha)

Explication

La position s’obtient en intégrant les composantes de la vitesse et en tenant compte de la position initiale : la coordonnée verticale contient donc $h$ , le terme linéaire $v_0\sin\alpha\,t$ et le terme gravitationnel $-\frac{gt^2}{2}$ . L’expression sans $h$ perd la hauteur initiale, celle sans le terme en $t^2$ omet la gravité, et la dernière donne la vitesse.

Question 9

9. Lorsqu’on décrit le mouvement d’un mobile à partir de son vecteur position, quelles dérivées permettent d’obtenir respectivement sa vitesse et son accélération ?

\vec v=\frac{d\vec a}{dt}

et

\vec a=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}

\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}

et

\vec a=\frac{d\vec v}{dt}

\vec v=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}

et

\vec a=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}

\vec v=\int\overrightarrow{OM}\,dt

et

\vec a=\int\vec v\,dt

Explication

La vitesse est la dérivée temporelle du vecteur position, puis l’accélération est la dérivée temporelle de la vitesse. Inverser ces liens ou dériver directement la position pour obtenir l’accélération confond les ordres de dérivation; les intégrales correspondent au passage dans le sens opposé.

Question 10

10. Sur le graphique d’une fonction $f$ , que représente $f'(x)$ au point d’abscisse $x$ ?

L’aire sous la courbe jusqu’à l’abscisse

x

L’ordonnée du point de la courbe

Le coefficient directeur d’une sécante reliant deux points

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe

Explication

Le nombre dérivé en $x$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. L’ordonnée donne la valeur de la fonction, une sécante relie deux points distincts, et une aire correspond à une interprétation intégrale.

Question 11

11. Dans un repère cartésien fixe, un point M a pour coordonnées (2, −3, 5). Quelle expression donne son vecteur position ?

2\vec u_x-3\vec u_y

-3\vec u_x+2\vec u_y+5\vec u_z

2\vec u_x+5\vec u_y-3\vec u_z

2\vec u_x-3\vec u_y+5\vec u_z

Explication

Dans une base cartésienne fixe, chaque coordonnée multiplie le vecteur de base correspondant : x avec $\vec u_x$ , y avec $\vec u_y$ et z avec $\vec u_z$ . L’échange de y et z confond les axes, tandis que l’omission de z ou le déplacement de x vers $\vec u_y$ ne respecte pas cette correspondance.

Question 12

12. La position d’un point dans une base cartésienne fixe est $\overrightarrow{OM}(t)=t^2\vec u_x+3t\vec u_y-2\vec u_z$ . Quelle est son accélération ?

2t\vec u_x+3\vec u_y

2t\vec u_x

-2\vec u_z

2\vec u_x

Explication

L’accélération est la dérivée seconde du vecteur position; les vecteurs de la base cartésienne fixe ne varient pas, donc la dérivée seconde de $t^2$ vaut 2 et celles de $3t$ et de −2 valent zéro. $2t\vec u_x+3\vec u_y$ correspond à la vitesse, tandis que les autres réponses conservent à tort une coordonnée dont la dérivée seconde est nulle.

Question 13

13. Dans le plan, une particule tourne avec une vitesse angulaire $\dot\theta=4\,\mathrm{s}^{-1}$ . Quelle est la dérivée temporelle de $\vec u_r$ à cet instant ?

4\vec u_\theta\,\mathrm{s}^{-1}

-4\vec u_r\,\mathrm{s}^{-1}

-4\vec u_\theta\,\mathrm{s}^{-1}

4\vec u_r\,\mathrm{s}^{-1}

Explication

La règle de dérivation de la base cylindrique est $\frac{d\vec u_r}{dt}=\dot\theta\vec u_\theta$ ; avec $\dot\theta=4\,\mathrm{s}^{-1}$ , la dérivée pointe donc dans la direction $\vec u_\theta$ avec un signe positif. Le signe négatif inverse la rotation, et les réponses radiales confondent la dérivée de $\vec u_r$ avec celle de $\vec u_\theta$ .

Question 14

14. Un point se déplace dans le plan avec $r=2\,\mathrm m$ constant et $\dot\theta=3\,\mathrm{s}^{-1}$ constant. Quelle est son accélération dans la base cylindrique ?

18\vec u_r\,\mathrm{m\,s}^{-2}

-18\vec u_r+6\vec u_\theta\,\mathrm{m\,s}^{-2}

-18\vec u_r\,\mathrm{m\,s}^{-2}

0

Explication

La composante radiale vaut $\ddot r-r\dot\theta^2=0-2\times 3^2=-18$ et la composante tangentielle est nulle puisque $\dot r=0$ et $\ddot\theta=0$ . Une accélération nulle omet le terme centripète, un signe positif l’inverse, et le terme tangent supplémentaire ne découle pas des données.

QCM : Oscillations et cinématique (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un oscillateur libre a pour conditions initiales $x(0)=3$ et $\dot{x}(0)=4$ , avec $\omega_0=2$ . Quelle expression décrit sa position au cours du temps ?

2. Pour un oscillateur libre ayant $X_0=3$ , $V_0=4$ et $\omega_0=2$ , quelle est son amplitude $X_m$ ?

3. Un oscillateur obéit à $\ddot{x}+9x=18$ . Quelle solution particulière constante peut-on choisir ?

4. Un oscillateur soumis à une constante vérifie $\ddot{x}+4x=12$ . Quelle forme générale décrit son mouvement ?

5. Pour résoudre $\ddot{x}+5x=10$ , on pose $X=x-2$ . Quelle équation vérifie alors $X$ ?

6. Un projectile se déplace en chute libre près de la Terre, avec l’axe vertical orienté vers le haut. Quelle accélération faut-il lui attribuer ?

7. Un projectile part de la position $(0,h)$ avec une vitesse initiale de norme $v_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l’horizontale. Quelle expression donne sa vitesse à l’instant $t$ ?

8. Un projectile est lancé depuis $(0,h)$ avec une vitesse initiale de norme $v_0$ et un angle $\alpha$ par rapport à l’horizontale. Quelle expression donne sa position à l’instant $t$ ?

9. Lorsqu’on décrit le mouvement d’un mobile à partir de son vecteur position, quelles dérivées permettent d’obtenir respectivement sa vitesse et son accélération ?

10. Sur le graphique d’une fonction $f$ , que représente $f'(x)$ au point d’abscisse $x$ ?

11. Dans un repère cartésien fixe, un point M a pour coordonnées (2, −3, 5). Quelle expression donne son vecteur position ?

12. La position d’un point dans une base cartésienne fixe est $\overrightarrow{OM}(t)=t^2\vec u_x+3t\vec u_y-2\vec u_z$ . Quelle est son accélération ?

13. Dans le plan, une particule tourne avec une vitesse angulaire $\dot\theta=4\,\mathrm{s}^{-1}$ . Quelle est la dérivée temporelle de $\vec u_r$ à cet instant ?

14. Un point se déplace dans le plan avec $r=2\,\mathrm m$ constant et $\dot\theta=3\,\mathrm{s}^{-1}$ constant. Quelle est son accélération dans la base cylindrique ?

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QCM : Oscillations et cinématique (14 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un oscillateur libre a pour conditions initiales x(0)=3x(0)=3x(0)=3 et x˙(0)=4\dot{x}(0)=4x˙(0)=4, avec ω0=2\omega_0=2ω0​=2. Quelle expression décrit sa position au cours du temps ?

2. Pour un oscillateur libre ayant X0=3X_0=3X0​=3, V0=4V_0=4V0​=4 et ω0=2\omega_0=2ω0​=2, quelle est son amplitude XmX_mXm​ ?

3. Un oscillateur obéit à x¨+9x=18\ddot{x}+9x=18x¨+9x=18. Quelle solution particulière constante peut-on choisir ?

4. Un oscillateur soumis à une constante vérifie x¨+4x=12\ddot{x}+4x=12x¨+4x=12. Quelle forme générale décrit son mouvement ?

5. Pour résoudre x¨+5x=10\ddot{x}+5x=10x¨+5x=10, on pose X=x−2X=x-2X=x−2. Quelle équation vérifie alors XXX ?

6. Un projectile se déplace en chute libre près de la Terre, avec l’axe vertical orienté vers le haut. Quelle accélération faut-il lui attribuer ?

7. Un projectile part de la position (0,h)(0,h)(0,h) avec une vitesse initiale de norme v0v_0v0​ faisant un angle α\alphaα avec l’horizontale. Quelle expression donne sa vitesse à l’instant ttt ?

8. Un projectile est lancé depuis (0,h)(0,h)(0,h) avec une vitesse initiale de norme v0v_0v0​ et un angle α\alphaα par rapport à l’horizontale. Quelle expression donne sa position à l’instant ttt ?

9. Lorsqu’on décrit le mouvement d’un mobile à partir de son vecteur position, quelles dérivées permettent d’obtenir respectivement sa vitesse et son accélération ?

10. Sur le graphique d’une fonction fff, que représente f′(x)f'(x)f′(x) au point d’abscisse xxx ?

11. Dans un repère cartésien fixe, un point M a pour coordonnées (2, −3, 5). Quelle expression donne son vecteur position ?

12. La position d’un point dans une base cartésienne fixe est OM→(t)=t2u⃗x+3tu⃗y−2u⃗z\overrightarrow{OM}(t)=t^2\vec u_x+3t\vec u_y-2\vec u_zOM(t)=t2ux​+3tuy​−2uz​. Quelle est son accélération ?

13. Dans le plan, une particule tourne avec une vitesse angulaire θ˙=4 s−1\dot\theta=4\,\mathrm{s}^{-1}θ˙=4s−1. Quelle est la dérivée temporelle de u⃗r\vec u_rur​ à cet instant ?

14. Un point se déplace dans le plan avec r=2 mr=2\,\mathrm mr=2m constant et θ˙=3 s−1\dot\theta=3\,\mathrm{s}^{-1}θ˙=3s−1 constant. Quelle est son accélération dans la base cylindrique ?

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1. Un oscillateur libre a pour conditions initiales $x(0)=3$ et $\dot{x}(0)=4$ , avec $\omega_0=2$ . Quelle expression décrit sa position au cours du temps ?

2. Pour un oscillateur libre ayant $X_0=3$ , $V_0=4$ et $\omega_0=2$ , quelle est son amplitude $X_m$ ?

3. Un oscillateur obéit à $\ddot{x}+9x=18$ . Quelle solution particulière constante peut-on choisir ?

4. Un oscillateur soumis à une constante vérifie $\ddot{x}+4x=12$ . Quelle forme générale décrit son mouvement ?

5. Pour résoudre $\ddot{x}+5x=10$ , on pose $X=x-2$ . Quelle équation vérifie alors $X$ ?

7. Un projectile part de la position $(0,h)$ avec une vitesse initiale de norme $v_0$ faisant un angle $\alpha$ avec l’horizontale. Quelle expression donne sa vitesse à l’instant $t$ ?

8. Un projectile est lancé depuis $(0,h)$ avec une vitesse initiale de norme $v_0$ et un angle $\alpha$ par rapport à l’horizontale. Quelle expression donne sa position à l’instant $t$ ?

10. Sur le graphique d’une fonction $f$ , que représente $f'(x)$ au point d’abscisse $x$ ?

12. La position d’un point dans une base cartésienne fixe est $\overrightarrow{OM}(t)=t^2\vec u_x+3t\vec u_y-2\vec u_z$ . Quelle est son accélération ?

13. Dans le plan, une particule tourne avec une vitesse angulaire $\dot\theta=4\,\mathrm{s}^{-1}$ . Quelle est la dérivée temporelle de $\vec u_r$ à cet instant ?

14. Un point se déplace dans le plan avec $r=2\,\mathrm m$ constant et $\dot\theta=3\,\mathrm{s}^{-1}$ constant. Quelle est son accélération dans la base cylindrique ?