Fiche de révision : Outils mathématiques pour les SVT

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels et opérations
2. Ordre et inégalités réelles
3. Fonctions réelles et propriétés
4. Valeur absolue
5. Continuité et fonctions usuelles
6. Dérivation et étude fonctionnelle
7. Primitives et intégrales
8. Méthodes d’intégration
9. Systèmes linéaires et Gauss
10. Applications et classifications

📖 1. Nombres réels et opérations

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, où les naturels, les relatifs et les rationnels sont respectivement les entiers naturels, les entiers relatifs et les quotients $p/q$ avec $p,q\in\mathbb{Z}$ et $q\ne0$.

📌 Dans les réels, la multiplication est distributive et un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul : $ab=0\Longleftrightarrow a=0\text{ ou }b=0$.

Compléments

📐 Formule — L’inverse d’un réel non nul $a$ est caractérisé par $a\times\frac{1}{a}=1$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Ordre et inégalités réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre réel : Pour deux réels $a$ et $b$, on a $a\le b$ si et seulement si $b-a\ge0$, et $a<b$ si $a\le b$ et $a\ne b$.

★ À maîtriser

📌 Ajouter un même réel aux deux membres d’une inégalité conserve son sens, tandis que multiplier par un réel strictement négatif inverse le sens de l’inégalité.

Compléments

📌 Si $a<b$ et $c>0$, alors $ac<bc$, et si $a<b$ alors $-a>-b$.

💡 Astuce mémo

Ajouter conserve l’ordre, multiplier par un négatif l’inverse

📖 3. Fonctions réelles et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Une fonction réelle associe à chaque élément $x$ de son domaine de définition $D$ un unique réel $f(x)$.
• Monotonie : Une fonction est croissante sur un ensemble si $x_1\le x_2$ implique $f(x_1)\le f(x_2)$, et décroissante si cette implication devient $f(x_1)\ge f(x_2)$.
• Parité et périodicité : Une fonction est paire si $f(-x)=f(x)$, impaire si $f(-x)=-f(x)$, et périodique de période $T>0$ si $f(x+T)=f(x)$.

📖 4. Valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue est définie par $|x|=x$ si $x\ge0$ et $|x|=-x$ si $x<0$, et vérifie $|x|\ge0$.

📝 Points essentiels

📌 Pour tous réels $x,y$, la valeur absolue vérifie $|xy|=|x||y|$ et $|x+y|\le|x|+|y|$.

📌 Pour $a>0$, on a $|x|<a\Longleftrightarrow-a<x<a$ et $|x|>a\Longleftrightarrow x<-a\text{ ou }x>a$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure une distance positive à zéro

📖 5. Continuité et fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Une fonction est continue en $x_0$ lorsque $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

★ À maîtriser

• Le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu’une fonction continue sur un intervalle prend toute valeur située entre deux valeurs qu’elle atteint.

• Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective sur un autre intervalle, et sa réciproque est continue et strictement monotone dans le même sens.

• L’exponentielle $x\mapsto a^x$ est croissante si $a>1$ et décroissante si $0<a<1$, tandis que son logarithme réciproque est monotone dans le même sens.

📐 Formule — Pour $x>0$, le logarithme népérien vérifie $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$, $\ln(1/x)=-\ln(x)$ et $\ln(x^\beta)=\beta\ln(x)$.

📐 Formule — À l’infini, une exponentielle de base supérieure à $1$ domine toute puissance positive, qui domine elle-même le logarithme : $\frac{x^\alpha}{a^x}\to0$ et $\frac{\ln x}{x^\alpha}\to0$ pour $\alpha>0$.

Compléments

📐 Formule — Pour $a>0$ et tous réels $x,y$, les puissances vérifient $a^{x+y}=a^xa^y$ et $(a^x)^y=a^{xy}$.

💡 Astuce mémo

Continuité + monotonie stricte → bijection et réciproque continue

📖 6. Dérivation et étude fonctionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : Une fonction est dérivable en $x_0$ lorsque le taux d’accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ admet une limite, appelée $f'(x_0)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée d’une puissance, d’une exponentielle et du logarithme népérien vérifie respectivement $\left(x^\alpha\right)'=\alpha x^{\alpha-1}$, $(e^x)'=e^x$ et $(\ln x)'=1/x$.

📐 Formule — Les règles de dérivation sont $(f+g)'=f'+g'$, $(fg)'=f'g+fg'$, $\left(\frac f g\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ et $(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$.

📌 Si une fonction est dérivable sur un intervalle et vérifie $f'(x)>0$ partout, elle y est strictement croissante ; si $f'(x)<0$ partout, elle y est strictement décroissante.

📌 Si une fonction deux fois dérivable vérifie $f''>0$ sur un intervalle, elle est convexe, et si $f''<0$, elle est concave.

Compléments

📐 Formule — La tangente au graphe de $f$ au point d’abscisse $x_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

💡 Astuce mémo

Domaine → dérivée → signe → variations → limites → graphe

📖 7. Primitives et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive de $f$ sur un intervalle est une fonction $F$ dont la dérivée vérifie $F'(x)=f(x)$.

★ À maîtriser

📌 Si $F$ est une primitive de $f$, toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F+C$, où $C$ est une constante réelle.

📐 Formule — Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $F'=f$, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Compléments

📐 Formule — La valeur moyenne d’une fonction continue sur $[a,b]$ est $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

💡 Astuce mémo

Primitive dérivée → intégrale calculée par différence aux bornes

📖 8. Méthodes d’intégration

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction rationnelle : Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes, de la forme $P(x)/Q(x)$.

📝 Points essentiels

• Le changement de variable $x=\varphi(t)$ transforme une intégrale selon $dx=\varphi'(t)dt$ et $\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$.

📐 Formule — L’intégration par parties repose sur $\int u\,dv=uv-\int v\,du$.

• Pour intégrer une fraction rationnelle, on décompose d’abord le dénominateur puis la fraction en éléments simples avant d’intégrer chaque terme.

💡 Astuce mémo

Changement de variable, parties, éléments simples

📖 9. Systèmes linéaires et Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système linéaire à $n$ équations et $m$ inconnues est une collection d’équations où chaque inconnue apparaît au premier degré, avec des coefficients réels et un second membre réel.
• Système homogène : Un système linéaire est homogène lorsque tous ses seconds membres sont nuls, c’est-à-dire lorsque $b_i=0$ pour chaque équation.

📝 Points essentiels

📌 Les échanges de lignes, la multiplication d’une ligne par une constante non nulle et l’ajout à une ligne d’un multiple d’une autre ligne produisent des systèmes équivalents.

• La méthode du pivot de Gauss réduit progressivement un système en choisissant un pivot, en éliminant l’inconnue correspondante sous ce pivot, puis en répétant l’opération sur les lignes suivantes.

📌 Après réduction, une ligne $0=\text{nombre non nul}$ rend le système incompatible, tandis qu’une ligne nulle permet de poursuivre si le second membre est également nul.

📌 Pour un système compatible réduit, si le nombre d’équations non triviales égale le nombre d’inconnues, la solution est unique ; s’il lui est inférieur, il existe une infinité de solutions paramétrées par les variables secondaires.

💡 Astuce mémo

Pivot → élimination → forme échelonnée → substitution

📖 10. Applications et classifications

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : Un point d’inflexion est un point où la courbure change de nature, par exemple lorsque $f''$ change de signe en passant par zéro.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction dérivable, un extremum local intérieur en $x_0$ vérifie nécessairement $f'(x_0)=0$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^3+48/x$, le domaine est $\mathbb{R}^*$, la fonction est impaire, ses extrema locaux sont un maximum en $x=-2$ et un minimum en $x=2$, avec $f(-2)=-32$ et $f(2)=32$.

📊 Tableaux de synthèse

Types de systèmes linéaires