QCM : Outils mathématiques pour les SVT — 27 questions

Question 1

1. Quelle relation d’inclusion entre les ensembles de nombres est correcte ?

\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}

\mathbb{Q}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{R}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers relatifs, eux-mêmes inclus dans les rationnels, puis dans les réels. L’ordre inverse proposé dans certaines réponses contredit ces inclusions fondamentales entre les ensembles.

Answer

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Question 2

2. Sachant que $ab=0$ pour deux réels $a$ et $b$ , quelle conclusion est nécessairement vraie ?

a=0

ou

b=0

a

et

b

sont tous deux non nuls

a=1

ou

b=1

a=b

et leur valeur est nulle

Explication

Dans les réels, un produit nul équivaut au fait qu’au moins l’un de ses facteurs est nul. La valeur du produit ne permet pas de conclure que les deux facteurs sont nuls ni qu’ils sont égaux.

Answer

$$a=0$$ ou $$b=0$$

Question 3

3. Quelle condition caractérise la relation $a<b$ entre deux réels $a$ et $b$ ?

On a

a\le b

et

a=b

.

On a

a\le b

et

a\ne b

.

On a

a>b

et

a\ne b

.

On a

b-a<0

sans autre condition.

Explication

L’inégalité stricte combine $a\le b$ avec l’exclusion de l’égalité. La relation $a\le b$ , elle, autorise précisément le cas $a=b$ .

Answer

On a $$a\le b$$ et $$a\ne b$$.

Question 4

4. Que devient une inégalité lorsqu’on multiplie ses deux membres par un réel strictement négatif ?

Elle devient nécessairement une égalité.

Son sens est inversé.

Son sens reste inchangé.

Elle n’est plus définie dans les réels.

Explication

La multiplication des deux membres par un nombre strictement négatif inverse l’ordre des deux membres. Une multiplication par un nombre positif conserve, elle, le sens de l’inégalité.

Answer

Son sens est inversé.

Question 5

5. Que doit associer une fonction réelle à chaque élément $x$ de son domaine de définition $D$ ?

Un ensemble de nombres sans valeur déterminée

Plusieurs valeurs réelles choisies librement

Un unique réel noté

f(x)

Une valeur de

x

appartenant à l’image

Explication

Une fonction réelle attribue à chaque élément autorisé de son domaine une unique valeur réelle. Le domaine regroupe les entrées possibles, tandis que les valeurs obtenues constituent l’image.

Answer

Un unique réel noté $$f(x)$$

Question 6

6. Quelle propriété caractérise une fonction croissante sur un ensemble donné ?

Si

x_1\le x_2

, alors

f(x_1)\le f(x_2)

.

Si

x_1\ne x_2

, alors

f(x_1)=f(x_2)

.

Si

x_1=x_2

, alors

f(x_1)<f(x_2)

.

Si

x_1\le x_2

, alors

f(x_1)\ge f(x_2)

.

Explication

Une fonction croissante conserve l’ordre : une entrée plus grande ou égale produit une valeur plus grande ou égale. L’inégalité inversée décrit plutôt le comportement d’une fonction décroissante.

Answer

Si $$x_1\le x_2$$, alors $$f(x_1)\le f(x_2)$$.

Question 7

7. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel négatif $x$ ?

-x

x^2

\frac{1}{x}

x

Explication

Lorsque $x<0$ , la définition impose $|x|=-x$ afin d’obtenir une quantité positive ou nulle. L’expression $x$ resterait négative dans ce cas et ne peut donc pas représenter sa valeur absolue.

Answer

$$|x+y|\le |x|+|y|$$

Answer

$$]-\infty,-a[\,\cup\,]a,+\infty[$$

Answer

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$

Answer

Elle prend toute valeur comprise entre $$2$$ et $$7$$

Answer

Elle est continue et strictement monotone

Answer

Sa dérivée est strictement positive partout sur cet intervalle

Answer

$$\frac{1}{x}$$

Answer

Il est convexe

Answer

Elle vérifie $$F'(x)=f(x)$$ sur l’intervalle.

Answer

Elles s’écrivent $$F+C$$, où $$C$$ est une constante réelle.

Answer

$$dx=\varphi'(t)\,dt$$

Answer

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$

Answer

Décomposer le dénominateur puis la fraction en éléments simples avant d’intégrer.

Answer

Chaque inconnue y apparaît au premier degré avec des coefficients et des seconds membres réels.

Answer

Lorsque tous ses seconds membres vérifient $$b_i=0$$.

Answer

Multiplier une ligne par une constante non nulle.

Answer

Choisir un pivot, éliminer l’inconnue correspondante sous ce pivot, puis recommencer sur les lignes suivantes.

Answer

La dérivée en $$x_0$$ doit être nulle

Answer

Elle possède un maximum local en $$x=-2$$ et un minimum local en $$x=2$$

Question 8

8. Quelle propriété est vraie pour tous réels $x$ et $y$ ?

|xy|=|x|+|y|

|x+y|=|x|-|y|

|x-y|<|x|+|y|

|x+y|\le |x|+|y|

Explication

L’inégalité triangulaire affirme que $|x+y|\le |x|+|y|$ , tandis que la valeur absolue d’un produit vérifie $|xy|=|x||y|$ . La troisième proposition confond donc la règle du produit avec une addition.

Question 9

9. Pour $a>0$ , quel ensemble décrit la solution de $|x|>a$ ?

[-a,a]

]-a,a[

]-\infty,a[\,\cup\,]-a,+\infty[

]-\infty,-a[\,\cup\,]a,+\infty[

Explication

Une distance à zéro supérieure à $a$ correspond aux deux régions extérieures, soit $x<-a$ ou $x>a$ . L’intervalle $]-a,a[$ décrit au contraire la condition $|x|<a$ .

Question 10

10. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction $f$ en $x_0$ ?

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

f(x_0)=x_0

\lim_{x\to x_0}f(x)=0

f'(x_0)=f(x_0)

Explication

La continuité en $x_0$ signifie que la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ coïncide avec la valeur $f(x_0)$ . La condition $f(x_0)=x_0$ concerne une éventuelle intersection avec la droite identité, pas la continuité.

Question 11

11. Une fonction continue sur un intervalle prend les valeurs $2$ et $7$ en deux points de cet intervalle. Que peut-on conclure ?

Elle possède une dérivée nulle entre ces deux points

Elle prend toute valeur comprise entre

2

et

7

Elle prend toute valeur réelle hors de l’intervalle

[2,7]

Elle atteint seulement les valeurs entières entre

2

et

7

Explication

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’atteinte de chaque valeur située entre deux valeurs atteintes par une fonction continue. Il ne restreint pas ces valeurs aux entiers et ne fournit pas, à lui seul, une information sur la dérivée.

Question 12

12. Quelle combinaison d’hypothèses garantit qu’une fonction possède une réciproque continue et strictement monotone sur son image ?

Elle est monotone par morceaux avec une discontinuité

Elle est continue et strictement monotone

Elle est dérivable en un seul point

Elle est bornée et paire

Explication

La continuité associée à la stricte monotonie garantit la bijectivité sur l’image ainsi que la continuité et la monotonie de la réciproque. La monotonie considérée sans continuité ne suffit pas à assurer cette propriété de la réciproque.

Question 13

13. Pour quelle condition sur la base $a$ la fonction $x\mapsto a^x$ est-elle décroissante ?

a<0

a>1

0<a<1

a=1

Explication

Une exponentielle de base comprise entre $0$ et $1$ est décroissante, et son logarithme réciproque possède le même sens de monotonie. Lorsque $a>1$ , l’exponentielle est au contraire croissante.

Question 14

14. Quelle situation suffit à conclure qu’une fonction est strictement croissante sur un intervalle ?

Sa dérivée est strictement positive partout sur cet intervalle

Sa fonction est positive partout sur cet intervalle

Sa dérivée seconde est strictement négative partout sur cet intervalle

Sa dérivée est nulle en un point de cet intervalle

Explication

Une dérivée vérifiant $f'(x)>0$ en tout point de l’intervalle entraîne une croissance stricte de la fonction. La positivité de $f$ concerne ses valeurs, tandis qu’une dérivée seconde négative indique la concavité.

Question 15

15. Quelle formule donne la dérivée de $\ln x$ pour $x>0$ ?

e^x

\frac{1}{x}

\ln(x+1)

x\ln x

Explication

La dérivée du logarithme népérien est $\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$ pour $x>0$ . L’expression $e^x$ est la dérivée de l’exponentielle, et non celle du logarithme.

Question 16

16. Si $f''(x)>0$ sur un intervalle, quelle propriété possède le graphe de $f$ sur cet intervalle ?

Il est convexe

Il est concave

La fonction y est strictement décroissante

La fonction y est constante

Explication

Une dérivée seconde positive signifie que la fonction est convexe sur l’intervalle considéré. La concavité correspond au cas $f''(x)<0$ , tandis que le signe de la dérivée seconde ne suffit pas à conclure que la fonction est constante.

Question 17

17. Quelle condition caractérise une primitive $F$ d’une fonction $f$ sur un intervalle ?

Elle vérifie

F(x)=f'(x)

sur l’intervalle.

Elle vérifie

F'(x)=f(x)

sur l’intervalle.

Elle vérifie

F(x)=\int f'(x)\,dx

sur l’intervalle.

Elle vérifie

F'(x)=1/f(x)

sur l’intervalle.

Explication

Une primitive de $f$ est une fonction dont la dérivée coïncide avec $f$ sur l’intervalle considéré. La relation $F(x)=f'(x)$ confond la fonction avec sa dérivée et ne définit pas une primitive.

Question 18

18. Si $F$ est une primitive de $f$ , comment s’écrivent toutes les autres primitives de $f$ ?

Elles s’écrivent

F(x)+C(x)

, où

C

est une fonction réelle.

Elles s’écrivent

F' + C

, où

C

est une constante réelle.

Elles s’écrivent

F\times C

, où

C

est une constante réelle.

Elles s’écrivent

F+C

, où

C

est une constante réelle.

Explication

Deux primitives d’une même fonction ont la même dérivée et diffèrent donc d’une constante réelle. Ajouter une fonction variable ou multiplier par une constante ne conserve pas cette propriété dans le cas général.

Question 19

19. Dans le changement de variable $x=\varphi(t)$ , quelle relation permet de transformer le différentielle $dx$ ?

dx=\varphi''(t)\,dt

dx=\frac{1}{\varphi'(t)}\,dt

dx=\varphi'(t)\,dt

dx=\varphi(t)\,dt

Explication

La dérivation de $x=\varphi(t)$ donne $dx=\varphi'(t)\,dt$ , ce qui permet ensuite de transformer l’intégrande. Utiliser $\varphi(t)$ sans dériver ne tient pas compte de la variation de la nouvelle variable.

Question 20

20. Quelle identité est utilisée pour effectuer une intégration par parties ?

\int u\,dv=uv-\int v\,du

\int u\,dv=\frac{u}{v}-\int du\,dv

\int u\,dv=u+v-\int du\,dv

\int u\,dv=uv+\int v\,du

Explication

L’intégration par parties provient de la dérivation du produit et s’écrit $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ . Le signe plus inverse la relation issue de la règle du produit.

Question 21

21. Quelle démarche convient pour intégrer une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise ?

Remplacer la fraction par son inverse puis intégrer chaque facteur.

Développer tous les facteurs puis appliquer une intégration par parties.

Dériver le numérateur puis intégrer directement le dénominateur factorisé.

Décomposer le dénominateur puis la fraction en éléments simples avant d’intégrer.

Explication

La méthode consiste à factoriser le dénominateur, décomposer la fraction en éléments simples, puis intégrer chaque terme obtenu. Une intégration directe du dénominateur ne fournit pas en général une primitive du quotient.

Question 22

22. Quelle caractéristique définit un système linéaire à $n$ équations et $m$ inconnues ?

Les équations y contiennent nécessairement des puissances différentes de chaque inconnue.

Chaque inconnue y apparaît sous forme de produit avec une autre inconnue réelle.

Chaque inconnue y apparaît au premier degré avec des coefficients et des seconds membres réels.

Les seconds membres y dépendent des inconnues par des fonctions non linéaires.

Explication

Un système linéaire contient les inconnues au premier degré, avec des coefficients réels et des seconds membres réels. Des produits d’inconnues ou des fonctions non linéaires supprimeraient cette linéarité.

Question 23

23. Dans quelle situation un système linéaire est-il homogène ?

Lorsque tous ses seconds membres vérifient

b_i=0

.

Lorsque tous ses coefficients diagonaux vérifient

a_{ii}=0

.

Lorsque chaque inconnue possède une valeur entière.

Lorsque le système comporte autant d’équations que d’inconnues.

Explication

Un système est homogène lorsque le second membre de chaque équation est nul, c’est-à-dire $b_i=0$ pour tout $i$ . Le nombre d’équations ou la nature des solutions ne définit pas l’homogénéité.

Question 24

24. Laquelle de ces opérations conserve l’équivalence d’un système linéaire ?

Remplacer une ligne par son carré pour simplifier les coefficients.

Diviser une ligne par une expression qui peut s’annuler.

Multiplier une ligne par zéro et supprimer l’information obtenue.

Multiplier une ligne par une constante non nulle.

Explication

La multiplication d’une ligne par une constante non nulle est une opération élémentaire qui préserve les solutions. Une multiplication par zéro détruit l’information de la ligne et n’est donc pas autorisée.

Question 25

25. Quelle succession d’actions décrit la méthode du pivot de Gauss ?

Échanger toutes les colonnes, intégrer les coefficients, puis vérifier les seconds membres.

Résoudre chaque équation séparément, puis multiplier les solutions obtenues entre elles.

Choisir un pivot, éliminer l’inconnue correspondante sous ce pivot, puis recommencer sur les lignes suivantes.

Choisir une inconnue, supprimer sa colonne entière, puis additionner toutes les lignes restantes.

Explication

Le pivot de Gauss avance progressivement en sélectionnant un pivot et en annulant les coefficients situés sous celui-ci, avant de traiter les lignes suivantes. La méthode agit par opérations élémentaires sur les lignes plutôt que par résolution indépendante des équations.

Question 26

26. Pour une fonction dérivable, quelle condition doit vérifier un extremum local intérieur situé en $x_0$ ?

La fonction doit changer de signe en

x_0

La dérivée en

x_0

doit être nulle

La courbe doit avoir une asymptote en

x_0

La dérivée seconde en

x_0

doit être positive

Explication

Un extremum local intérieur d’une fonction dérivable est nécessairement un point critique, donc sa dérivée vérifie $f'(x_0)=0$ . Une dérivée seconde positive peut aider à caractériser un minimum, mais elle n’est pas la condition nécessaire générale pour tout extremum local.

Question 27

27. Pour la fonction $f(x)=x^3+\frac{48}{x}$ , quelles affirmations décrivent correctement ses extrema locaux ?

Elle possède deux minima locaux, en

x=-2

et en

x=2

Elle possède un maximum local en

x=-2

et un minimum local en

x=2

Elle possède un minimum local en

x=-2

et un maximum local en

x=2

Elle possède deux maxima locaux, en

x=-2

et en

x=2

Explication

Pour cette fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ , l’extremum situé en $x=-2$ est un maximum local, tandis que celui situé en $x=2$ est un minimum local. L’inversion de ces deux classifications constitue l’erreur la plus plausible, car les deux points sont symétriques dans l’expression étudiée.

QCM : Outils mathématiques pour les SVT — 27 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation d’inclusion entre les ensembles de nombres est correcte ?

2. Sachant que $ab=0$ pour deux réels $a$ et $b$ , quelle conclusion est nécessairement vraie ?

3. Quelle condition caractérise la relation $a<b$ entre deux réels $a$ et $b$ ?

4. Que devient une inégalité lorsqu’on multiplie ses deux membres par un réel strictement négatif ?

5. Que doit associer une fonction réelle à chaque élément $x$ de son domaine de définition $D$ ?

6. Quelle propriété caractérise une fonction croissante sur un ensemble donné ?

7. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel négatif $x$ ?

8. Quelle propriété est vraie pour tous réels $x$ et $y$ ?

9. Pour $a>0$ , quel ensemble décrit la solution de $|x|>a$ ?

10. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction $f$ en $x_0$ ?

11. Une fonction continue sur un intervalle prend les valeurs $2$ et $7$ en deux points de cet intervalle. Que peut-on conclure ?

12. Quelle combinaison d’hypothèses garantit qu’une fonction possède une réciproque continue et strictement monotone sur son image ?

13. Pour quelle condition sur la base $a$ la fonction $x\mapsto a^x$ est-elle décroissante ?

14. Quelle situation suffit à conclure qu’une fonction est strictement croissante sur un intervalle ?

15. Quelle formule donne la dérivée de $\ln x$ pour $x>0$ ?

16. Si $f''(x)>0$ sur un intervalle, quelle propriété possède le graphe de $f$ sur cet intervalle ?

17. Quelle condition caractérise une primitive $F$ d’une fonction $f$ sur un intervalle ?

18. Si $F$ est une primitive de $f$ , comment s’écrivent toutes les autres primitives de $f$ ?

19. Dans le changement de variable $x=\varphi(t)$ , quelle relation permet de transformer le différentielle $dx$ ?

20. Quelle identité est utilisée pour effectuer une intégration par parties ?

21. Quelle démarche convient pour intégrer une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise ?

22. Quelle caractéristique définit un système linéaire à $n$ équations et $m$ inconnues ?

23. Dans quelle situation un système linéaire est-il homogène ?

24. Laquelle de ces opérations conserve l’équivalence d’un système linéaire ?

25. Quelle succession d’actions décrit la méthode du pivot de Gauss ?

26. Pour une fonction dérivable, quelle condition doit vérifier un extremum local intérieur situé en $x_0$ ?

27. Pour la fonction $f(x)=x^3+\frac{48}{x}$ , quelles affirmations décrivent correctement ses extrema locaux ?

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QCM : Outils mathématiques pour les SVT — 27 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation d’inclusion entre les ensembles de nombres est correcte ?

2. Sachant que ab=0ab=0ab=0 pour deux réels aaa et bbb, quelle conclusion est nécessairement vraie ?

3. Quelle condition caractérise la relation a<ba<ba<b entre deux réels aaa et bbb ?

4. Que devient une inégalité lorsqu’on multiplie ses deux membres par un réel strictement négatif ?

5. Que doit associer une fonction réelle à chaque élément xxx de son domaine de définition DDD ?

6. Quelle propriété caractérise une fonction croissante sur un ensemble donné ?

7. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel négatif xxx ?

8. Quelle propriété est vraie pour tous réels xxx et yyy ?

9. Pour a>0a>0a>0, quel ensemble décrit la solution de ∣x∣>a|x|>a∣x∣>a ?

10. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction fff en x0x_0x0​ ?

11. Une fonction continue sur un intervalle prend les valeurs 222 et 777 en deux points de cet intervalle. Que peut-on conclure ?

12. Quelle combinaison d’hypothèses garantit qu’une fonction possède une réciproque continue et strictement monotone sur son image ?

13. Pour quelle condition sur la base aaa la fonction x↦axx\mapsto a^xx↦ax est-elle décroissante ?

14. Quelle situation suffit à conclure qu’une fonction est strictement croissante sur un intervalle ?

15. Quelle formule donne la dérivée de ln⁡x\ln xlnx pour x>0x>0x>0 ?

16. Si f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0 sur un intervalle, quelle propriété possède le graphe de fff sur cet intervalle ?

17. Quelle condition caractérise une primitive FFF d’une fonction fff sur un intervalle ?

18. Si FFF est une primitive de fff, comment s’écrivent toutes les autres primitives de fff ?

19. Dans le changement de variable x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t), quelle relation permet de transformer le différentielle dxdxdx ?

20. Quelle identité est utilisée pour effectuer une intégration par parties ?

21. Quelle démarche convient pour intégrer une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise ?

22. Quelle caractéristique définit un système linéaire à nnn équations et mmm inconnues ?

23. Dans quelle situation un système linéaire est-il homogène ?

24. Laquelle de ces opérations conserve l’équivalence d’un système linéaire ?

25. Quelle succession d’actions décrit la méthode du pivot de Gauss ?

26. Pour une fonction dérivable, quelle condition doit vérifier un extremum local intérieur situé en x0x_0x0​ ?

27. Pour la fonction f(x)=x3+48xf(x)=x^3+\frac{48}{x}f(x)=x3+x48​, quelles affirmations décrivent correctement ses extrema locaux ?

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2. Sachant que $ab=0$ pour deux réels $a$ et $b$ , quelle conclusion est nécessairement vraie ?

3. Quelle condition caractérise la relation $a<b$ entre deux réels $a$ et $b$ ?

5. Que doit associer une fonction réelle à chaque élément $x$ de son domaine de définition $D$ ?

7. Quelle expression donne la valeur absolue d’un réel négatif $x$ ?

8. Quelle propriété est vraie pour tous réels $x$ et $y$ ?

9. Pour $a>0$ , quel ensemble décrit la solution de $|x|>a$ ?

10. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction $f$ en $x_0$ ?

11. Une fonction continue sur un intervalle prend les valeurs $2$ et $7$ en deux points de cet intervalle. Que peut-on conclure ?

13. Pour quelle condition sur la base $a$ la fonction $x\mapsto a^x$ est-elle décroissante ?

15. Quelle formule donne la dérivée de $\ln x$ pour $x>0$ ?

16. Si $f''(x)>0$ sur un intervalle, quelle propriété possède le graphe de $f$ sur cet intervalle ?

17. Quelle condition caractérise une primitive $F$ d’une fonction $f$ sur un intervalle ?

18. Si $F$ est une primitive de $f$ , comment s’écrivent toutes les autres primitives de $f$ ?

19. Dans le changement de variable $x=\varphi(t)$ , quelle relation permet de transformer le différentielle $dx$ ?

22. Quelle caractéristique définit un système linéaire à $n$ équations et $m$ inconnues ?

26. Pour une fonction dérivable, quelle condition doit vérifier un extremum local intérieur situé en $x_0$ ?

27. Pour la fonction $f(x)=x^3+\frac{48}{x}$ , quelles affirmations décrivent correctement ses extrema locaux ?