QCM : Polynômes du second degré (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’un polynôme du second degré :

Les coefficients bb et cc d’un tel polynôme sont des nombres réels.
Dans ax2+bx+cax^2+bx+c, le coefficient aa est réel et non nul.
Dans ax2+bx+cax^2+bx+c, le coefficient cc est nécessairement non nul.
Un polynôme du second degré s’écrit ax2+bx+cax^2+bx+c avec des coefficients réels.
Un polynôme du second degré s’écrit ax3+bx+cax^3+bx+c avec des coefficients réels.

Les coefficients $$b$$ et $$c$$ d’un tel polynôme sont des nombres réels. · Dans $$ax^2+bx+c$$, le coefficient $$a$$ est réel et non nul. · Un polynôme du second degré s’écrit $$ax^2+bx+c$$ avec des coefficients réels.

Explication

Un polynôme du second degré a la forme ax2+bx+cax^2+bx+c, avec aa, bb et cc réels et a≠0a\ne0. Le terme de plus haut degré est donc en x2x^2, et aucune condition n’impose que cc soit non nul.

2. Parmi les écritures suivantes concernant la forme réduite, laquelle ou lesquelles sont exactes ?

Dans la forme réduite, les coefficients aa, bb et cc sont réels.
La forme réduite d’un trinôme s’écrit P(x)=a(x−α)2+βP(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.
L’expression ax2+bx+cax^2+bx+c constitue la forme réduite du trinôme.
La forme réduite s’écrit P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0.
La forme réduite s’écrit P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c avec a=0a=0.

Dans la forme réduite, les coefficients $$a$$, $$b$$ et $$c$$ sont réels. · L’expression $$ax^2+bx+c$$ constitue la forme réduite du trinôme. · La forme réduite s’écrit $$P(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\ne0$$.

Explication

La forme réduite est P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c, avec des coefficients réels et a≠0a\ne0. Prendre a=0a=0 supprime le terme quadratique, tandis que a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta est la forme canonique.

3. Au sujet de la forme canonique d’un trinôme :

Son paramètre β\beta est égal à P(0)P(0).
Son paramètre α\alpha vaut −ba-\frac{b}{a}.
Son paramètre β\beta est égal à P(α)P(\alpha).
Son paramètre α\alpha vaut −b2a-\frac{b}{2a}.
Elle s’écrit P(x)=a(x−α)2+βP(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.

Son paramètre $$\beta$$ est égal à $$P(\alpha)$$. · Son paramètre $$\alpha$$ vaut $$-\frac{b}{2a}$$. · Elle s’écrit $$P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$.

Explication

La forme canonique est P(x)=a(x−α)2+βP(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, où α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=P(α)\beta=P(\alpha). Les expressions proposées pour α\alpha sans le facteur 2 et pour β=P(0)\beta=P(0) ne correspondent pas aux définitions.

4. Pour la fonction f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, quelles caractéristiques de sa courbe sont exactes ?

Sa courbe est une parabole de sommet S(α;β)S(\alpha;\beta).
L’ordonnée du sommet est β=f(α)\beta=f(\alpha).
L’ordonnée du sommet est β=f(0)\beta=f(0).
Sa courbe est une hyperbole de sommet S(α;β)S(\alpha;\beta).
L’abscisse du sommet est α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}.

Sa courbe est une parabole de sommet $$S(\alpha;\beta)$$. · L’ordonnée du sommet est $$\beta=f(\alpha)$$. · L’abscisse du sommet est $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

La courbe est une parabole de sommet S(α;β)S(\alpha;\beta), avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha). Une hyperbole n’est pas la courbe de cette fonction du second degré, et l’ordonnée du sommet n’est pas nécessairement f(0)f(0).

5. Concernant le discriminant d’une équation du second degré :

Dans Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, le terme en aa et cc vaut −2ac-2ac.
Le discriminant est un nombre associé à l’équation du second degré.
Le discriminant est calculé à partir des coefficients aa, bb et cc.
Pour ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, le discriminant vaut Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.
Pour ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, le discriminant vaut Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac.

Le discriminant est un nombre associé à l’équation du second degré. · Le discriminant est calculé à partir des coefficients $$a$$, $$b$$ et $$c$$. · Pour $$ax^2+bx+c=0$$, le discriminant vaut $$\Delta=b^2-4ac$$.

Explication

Le discriminant de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 est le nombre Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, calculé à partir des trois coefficients. Le terme correct est −4ac-4ac, et non +4ac+4ac ou −2ac-2ac.

6. Lorsqu’on résout une équation du second degré, quelle démarche convient ?

On la met sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 avant de calculer le discriminant.
On détermine le signe de Δ\Delta avant de le calculer.
On examine le signe de Δ\Delta après son calcul.
On calcule Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac après la mise sous forme standard.
On calcule le discriminant avant de mettre l’équation sous forme nulle.

On la met sous la forme $$ax^2+bx+c=0$$ avant de calculer le discriminant. · On examine le signe de $$\Delta$$ après son calcul. · On calcule $$\Delta=b^2-4ac$$ après la mise sous forme standard.

Explication

La démarche consiste à mettre l’équation sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, calculer Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis examiner son signe. L’ordre proposé dans les distracteurs inverse des étapes nécessaires.

7. Une équation du second degré a un discriminant négatif. Quelles affirmations sont exactes ?

Une équation sans solution réelle correspond à Δ=0\Delta=0.
Si Δ<0\Delta<0, l’équation n’a pas de solution réelle.
Le signe négatif du discriminant correspond à l’absence de solution réelle.
Si Δ<0\Delta<0, l’équation admet deux solutions réelles.
L’équation ne possède aucune racine réelle lorsque Δ<0\Delta<0.

Si $$\Delta<0$$, l’équation n’a pas de solution réelle. · Le signe négatif du discriminant correspond à l’absence de solution réelle. · L’équation ne possède aucune racine réelle lorsque $$\Delta<0$$.

Explication

Lorsque Δ<0\Delta<0, l’équation du second degré n’a pas de solution réelle, donc elle n’a pas de racine réelle. Une solution réelle unique correspond à Δ=0\Delta=0, tandis que deux solutions réelles correspondent à Δ>0\Delta>0.

8. Pour une équation du second degré dont le discriminant est nul, quelles propositions sont exactes ?

La valeur de l’unique solution est déterminée par −b2a-\frac{b}{2a}.
Le cas Δ=0\Delta=0 se distingue du cas Δ>0\Delta>0 par le nombre de solutions.
L’équation admet une solution unique lorsque Δ=0\Delta=0.
Cette solution unique vaut x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}.
L’équation admet deux solutions distinctes lorsque Δ=0\Delta=0.

La valeur de l’unique solution est déterminée par $$-\frac{b}{2a}$$. · Le cas $$\Delta=0$$ se distingue du cas $$\Delta>0$$ par le nombre de solutions. · L’équation admet une solution unique lorsque $$\Delta=0$$. · Cette solution unique vaut $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

Si Δ=0\Delta=0, l’équation admet une solution unique, égale à x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}. Le cas Δ>0\Delta>0 donne deux solutions, tandis que le discriminant nul n’en donne pas deux distinctes.

9. Pour un trinôme dont le discriminant est strictement positif, quelles relations entre ses racines sont exactes ?

Ses deux racines réelles distinctes vérifient x1+x2=bax_1+x_2=\frac{b}{a}.
Ses deux racines réelles distinctes vérifient x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}.
Leur somme vaut −ab-\frac{a}{b}.
La relation x1+x2=−b2ax_1+x_2=-\frac{b}{2a} concerne ces racines.
Leur somme est l’opposé du quotient de bb par aa.

Ses deux racines réelles distinctes vérifient $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$. · Leur somme est l’opposé du quotient de $$b$$ par $$a$$.

Explication

Pour un discriminant strictement positif, les racines réelles distinctes vérifient x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}. Le signe est négatif et le dénominateur est aa, sans facteur 2.

10. Un trinôme a deux racines réelles distinctes x1x_1 et x2x_2. Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes ?

La somme des racines vaut ba\frac{b}{a} lorsque le discriminant est positif.
La somme des racines vaut −ba-\frac{b}{a} lorsque le discriminant est positif.
Pour un tel trinôme, x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}.
La somme des racines vaut −b2a-\frac{b}{2a} lorsque le discriminant est positif.
Les racines réelles distinctes d’un trinôme de discriminant positif vérifient cette relation.

La somme des racines vaut $$-\frac{b}{a}$$ lorsque le discriminant est positif. · Pour un tel trinôme, $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$. · Les racines réelles distinctes d’un trinôme de discriminant positif vérifient cette relation.

Explication

Lorsque le discriminant est positif, les deux racines réelles distinctes ont pour somme −ba-\frac{b}{a}. Les versions de signe opposé ou avec un dénominateur 2a2a ne donnent pas la relation de somme indiquée.

11. Concernant la factorisation d’un trinôme lorsque Δ>0\Delta>0 :

Le trinôme se factorise avec deux facteurs associés à ses deux racines distinctes.
Le trinôme s’écrit P(x)=a(x−x0)2P(x)=a(x-x_0)^2, où x0x_0 est sa racine double.
Le trinôme n’a pas de racine réelle et ne peut pas prendre cette forme factorisée.
Le trinôme peut s’écrire P(x)=a(x−x1)(x−x2)P(x)=a(x-x_1)(x-x_2), où x1x_1 et x2x_2 sont ses racines.
Le trinôme se factorise avec un facteur linéaire répété associé à sa racine double.

Le trinôme se factorise avec deux facteurs associés à ses deux racines distinctes. · Le trinôme peut s’écrire $$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$, où $$x_1$$ et $$x_2$$ sont ses racines.

Explication

Pour Δ>0\Delta>0, le trinôme possède deux racines distinctes et se factorise avec un facteur associé à chacune. La forme avec un facteur répété correspond à Δ=0\Delta=0, tandis que l’absence de racine réelle correspond à Δ<0\Delta<0.

12. Un trinôme possède un discriminant nul. Parmi les propositions suivantes concernant sa factorisation, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La factorisation comporte un facteur répété correspondant à l’unique racine du trinôme.
Le trinôme se factorise en deux facteurs linéaires associés à deux racines distinctes.
Le trinôme se factorise sous la forme P(x)=a(x−x0)2P(x)=a(x-x_0)^2, où x0x_0 est sa racine double.
Le trinôme ne possède pas de racine réelle et ne peut pas être factorisé sous cette forme.
Le facteur linéaire associé à la racine du trinôme apparaît avec un exposant deux.

La factorisation comporte un facteur répété correspondant à l’unique racine du trinôme. · Le trinôme se factorise sous la forme $$P(x)=a(x-x_0)^2$$, où $$x_0$$ est sa racine double. · Le facteur linéaire associé à la racine du trinôme apparaît avec un exposant deux.

Explication

Lorsque Δ=0\Delta=0, le trinôme a une racine double et sa factorisation comporte le facteur linéaire correspondant au carré. Deux racines distinctes caractérisent Δ>0\Delta>0, alors que l’absence de racine réelle caractérise Δ<0\Delta<0.

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Quelle expression définit un polynôme du second degré ?

ax2+bx+cax^2+bx+c, avec a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb{R} et a≠0a\ne 0.

Quelle est la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

P(x)=a(x−α)2+βP(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.

Comment calcule-t-on α\alpha dans la forme canonique ?

α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}.

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