Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Formes du trinôme et parabole
2. Discriminant et résolution
3. Somme et produit des racines
4. Factorisation selon le discriminant

📖 1. Formes du trinôme et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré est une expression de la forme $ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont réels et $a\ne 0$.

★ À maîtriser

• La forme réduite d’un polynôme du second degré est $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne 0$.

📐 Formule - La forme canonique est $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.

📐 Formule - La courbe de la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne 0$, est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• Lorsqu’elle existe, la forme factorisée d’un trinôme est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont ses racines.

📖 2. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du second degré, on la met sous la forme $ax^2+bx+c=0$, on calcule $\Delta=b^2-4ac$, puis on examine le signe de $\Delta$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation du second degré n’a pas de solution réelle.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, l’équation admet une solution unique $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, l’équation admet deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Les solutions d’une équation du second degré sont les racines du trinôme correspondant.

• Graphiquement, les solutions éventuelles de l’équation sont les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Mettre sous forme réduite, calculer Δ, puis examiner son signe.

📖 3. Somme et produit des racines

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un trinôme de discriminant strictement positif, les racines réelles distinctes vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📖 4. Factorisation selon le discriminant

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont ses deux racines.

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise sous la forme $P(x)=a(x-x_0)^2$, où $x_0$ est sa racine double.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine réelle et aucune factorisation de la forme indiquée n’est possible.

💡 Astuce mémo

Deux racines donnent deux facteurs ; une racine double donne un facteur au carré.