Fiche de révision : Vecteurs et géométrie de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et opérations dans l’espace
2. Colinéarité et parallélisme
3. Combinaisons linéaires de vecteurs
4. Liberté et indépendance linéaire

📖 1. Vecteurs et opérations dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Associé à la translation qui transforme A en B, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par sa direction, son sens de A vers B et sa norme égale à la longueur AB.

★ À maîtriser

📌 Pour quatre points A, B, C et D, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

📐 Formule - La relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📌 Pour tout point O et tout vecteur $\vec{u}$ de l’espace, il existe un unique point M tel que $\overrightarrow{OM}=\vec{u}$.

📖 2. Colinéarité et parallélisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel k tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.

📝 Points essentiels

📌 Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

📌 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

📖 3. Combinaisons linéaires de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Un vecteur $\vec{w}$ s’écrit comme une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s’il existe deux réels α et β tels que $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$.

📝 Points essentiels

• La notion de combinaison linéaire se généralise à trois, quatre ou davantage de vecteurs.

• Dans un parallélépipède rectangle ABCDEFGH, $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}$.

• Dans un tétraèdre ABCD, le point R est défini par $\overrightarrow{DR}=\frac{1}{4}\overrightarrow{DB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{DC}$.

📖 4. Liberté et indépendance linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille libre : Trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ vérifient que $\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}$ implique $\alpha=\beta=\gamma=0$.

📝 Points essentiels

• Dans la figure de l’exercice, il faut exprimer $\overrightarrow{IJ}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.