QCM : Vecteurs et géométrie de l’espace (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans l’exercice géométrique considéré, quelle opération est demandée pour étudier les vecteurs de la figure ?

Exprimer AB→\overrightarrow{AB} comme combinaison linéaire de IJ→\overrightarrow{IJ}, AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD}.
Exprimer IJ→\overrightarrow{IJ} comme combinaison linéaire de AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD}.
Comparer les longueurs de IJ→\overrightarrow{IJ}, AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD}.
Déterminer une relation entre AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD} qui donne le vecteur nul.

Exprimer $$\overrightarrow{IJ}$$ comme combinaison linéaire de $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{AD}$$.

Explication

La tâche consiste à décomposer le vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} à l’aide des trois vecteurs issus de AA. Exprimer AB→\overrightarrow{AB} dans une combinaison faisant intervenir les autres vecteurs inverse le rôle du vecteur à décomposer.

2. Quelle condition géométrique équivaut à l’égalité AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} ?

ABCD est un parallélogramme.
Les segments [AB] et [CD] ont le même milieu.
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
ABDC est un parallélogramme.

ABDC est un parallélogramme.

Explication

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. La condition concernant ABCD ne respecte pas l’ordre des sommets correspondant à cette égalité vectorielle.

3. Un trajet de A à C passe par B. Quelle relation de Chasles décrit ce trajet ?

AB→+CB→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}
AC→+BC→=AB→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
BA→+BC→=AC→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

Explication

La relation de Chasles additionne le déplacement de A vers B et celui de B vers C pour obtenir le déplacement de A vers C. Remplacer BC→\overrightarrow{BC} par CB→\overrightarrow{CB} inverse le sens du second déplacement.

4. Comment vérifier que trois points A, B et C sont alignés à l’aide de vecteurs ?

Vérifier que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Vérifier que AB→+AC→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}.
Vérifier que AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Vérifier que AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont de même norme.

Vérifier que $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont colinéaires.

Explication

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires. L’égalité de leurs normes ne garantit pas que leurs directions soient les mêmes.

5. Quel critère permet d’établir que les droites (AB) et (CD) sont parallèles ?

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont perpendiculaires.
Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} ont la même norme.
Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Les droites (AB) et (CD) ont un point commun.

Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{CD}$$ sont colinéaires.

Explication

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires. Une égalité de normes ne renseigne pas à elle seule sur l’orientation des droites.

6. Quand un vecteur w⃗\vec{w} est-il une combinaison linéaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ?

Lorsqu’il existe un réel kk tel que w⃗=k(u⃗+v⃗)\vec{w}=k(\vec{u}+\vec{v}).
Lorsqu’il existe deux réels tels que w⃗=α+β+u⃗+v⃗\vec{w}=\alpha+\beta+\vec{u}+\vec{v}.
Lorsqu’il existe deux vecteurs tels que w⃗=u⃗+v⃗\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}.
Lorsqu’il existe deux réels α\alpha et β\beta tels que w⃗=αu⃗+βv⃗\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}.

Lorsqu’il existe deux réels $$\alpha$$ et $$\beta$$ tels que $$\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$$.

Explication

Une combinaison linéaire de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} s’écrit avec un coefficient réel associé à chacun des deux vecteurs. L’expression k(u⃗+v⃗)k(\vec{u}+\vec{v}) impose le même coefficient aux deux vecteurs et ne couvre donc pas la définition générale.

7. Dans un parallélépipède rectangle ABCDEFGH, quelle décomposition de AG→\overrightarrow{AG} suit le chemin A vers B, B vers F, puis F vers G ?

BA→+BF→+FG→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FG}
AB→+BF→+FG→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FG}
AB→+FB→+FG→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FG}
AB→+BF→+GF→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{GF}

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FG}$$

Explication

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, BF→\overrightarrow{BF} et FG→\overrightarrow{FG} décrivent successivement le chemin de A à G. Le vecteur FB→\overrightarrow{FB} va dans le sens contraire de B vers F et ne suit donc pas ce trajet.

8. Quelle caractéristique du vecteur AB→\overrightarrow{AB} correspond à la longueur du segment ABAB ?

Sa direction
Sa norme
Son origine
Son sens

Sa norme

Explication

La norme de AB→\overrightarrow{AB} est égale à la longueur ABAB. Son sens indique le trajet de A vers B, et non la longueur du segment.

9. Quelle condition définit l’indépendance linéaire de trois vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ?

Il existe une relation αu⃗+βv⃗+γw⃗=0⃗\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0} avec au moins un coefficient non nul.
L’un des trois vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres.
Les trois vecteurs ont la même norme et des directions deux à deux différentes.
Toute relation αu⃗+βv⃗+γw⃗=0⃗\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0} impose α=β=γ=0\alpha=\beta=\gamma=0.

Toute relation $$\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}$$ impose $$\alpha=\beta=\gamma=0$$.

Explication

Une famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire donnant le vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Une relation non triviale donnant le vecteur nul caractérise au contraire une famille liée.

10. Quelle propriété définit la colinéarité de deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ?

Leur somme est nécessairement le vecteur nul.
Leurs normes sont égales et leurs sens sont opposés.
Il existe un réel kk tel que v⃗=ku⃗\vec{v}=k\vec{u}.
Il existe un réel kk tel que v⃗=u⃗+k\vec{v}=\vec{u}+k.

Il existe un réel $$k$$ tel que $$\vec{v}=k\vec{u}$$.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est un multiple réel de l’autre. Avoir des normes égales et des sens opposés décrit une relation plus particulière, qui n’est pas la définition générale.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 13 flashcards sur Vecteurs et géométrie de l’espace.

Quelles caractéristiques définissent le vecteur associé à la translation de A vers B ?

Sa direction, son sens de A vers B et sa norme égale à la longueur AB.

Pour quels points ABDC est-il un parallélogramme ?

Lorsque AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.

Quelle égalité vectorielle exprime la relation de Chasles pour A, B et C ?

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Vecteurs et géométrie de l’espace.

Voir la fiche →

Cours similaires

Lentilles minces et ondes mécaniques

Physique

Biodiversité et organisation du vivant

SVT

Lentilles divergentes

Physique

Polynômes du second degré

Mathématiques

Discriminations et préjugés subtils

Circuits de freinage pneumatique

Physique

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM