Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée
2. Forme canonique et sommet
3. Variations et extremum
4. Discriminant et racines
5. Somme et produit des racines
6. Factorisation et signe du trinôme

📖 1. Définition et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$ ; cette écriture est sa forme développée.

📝 Points essentiels

📌 Le coefficient de $x^2$ doit être non nul pour qu’un polynôme soit du second degré : $5x-3$ est de degré 1 et $5x^4-7x^3+3x-8$ est de degré 4, donc aucun des deux n’est du second degré.

• Un polynôme du second degré est aussi appelé trinôme.

• L’expression $5x-2x^2-20+8x$ se réduit à la forme développée $-2x^2+13x-20$.

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le point de coordonnées $(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole associée à $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Forme canonique : La forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ d’un polynôme du second degré est appelée sa forme canonique.

★ À maîtriser

📐 Formule - Tout trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2-20x+10$, la forme canonique est $f(x)=2(x-5)^2-40$.

• L’axe de symétrie de la parabole associée à $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ a pour équation $x=\alpha$.

• Dans la forme canonique, $\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

📖 3. Variations et extremum

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ est une parabole.

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la fonction décroît jusqu’à $x=\alpha$, atteint son minimum $\beta$, puis croît ; la parabole est tournée vers le haut.

Compléments

• La fonction $f(x)=4x^2-8x+11$ a pour sommet $S(1;7)$ et décroît jusqu’à 7, puis croît.

💡 Astuce mémo

a>0 : minimum et parabole vers le haut ; a<0 : maximum et parabole vers le bas.

📖 4. Discriminant et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : De la forme $ax^2+bx+c=0$, où $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\ne0$.
• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Racine : Les solutions de $ax^2+bx+c=0$ sont les racines de la fonction polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$.

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation a une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, l’équation a deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Une racine $x_1$ vérifie $f(x_1)=0$ et correspond à l’abscisse d’un point où la courbe de $f$ coupe l’axe des abscisses.

• Pour $3x^2-6x-2$, le discriminant vaut $60$ et les racines sont $1-\frac{\sqrt{60}}{6}$ et $1+\frac{\sqrt{60}}{6}$.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ mène à 0, 1 ou 2 racines : Δ<0, Δ=0, Δ>0.

📖 5. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque $\Delta>0$, la somme $S$ et le produit $P$ des deux racines d’un trinôme sont $S=-\frac{b}{a}$ et $P=\frac{c}{a}$.

📌 Deux réels $x_1$ et $x_2$ ont pour somme $S$ et pour produit $P$ si et seulement s’ils sont les racines de $x^2-Sx+P$.

Compléments

• Les deux nombres réels dont la somme vaut 4 et le produit vaut 1 sont $2-\sqrt3$ et $2+\sqrt3$.

• Pour $f(x)=-2x^2+x+1$, une racine est 1 et l’autre racine est $-\frac12$.

📖 6. Factorisation et signe du trinôme

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de forme factorisée en facteurs du premier degré réels.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_0)^2$, où $x_0$ est sa racine double.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont ses racines.

Compléments

• Le trinôme $4x^2+19x-5$ se factorise en $4(x+5)(x-0{,}25)$.

• Le trinôme $9x^2-6x+1$ se factorise en $9\left(x-\frac13\right)^2$.