Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée
2. Forme canonique et sommet
3. Variations et extremum
4. Discriminant et résolution
5. Factorisation et signe du trinôme
6. Somme et produit des racines

📖 1. Définition et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$ ; cette écriture est la forme développée.

📝 Points essentiels

📌 Un polynôme du second degré a un terme en $x^2$ de coefficient non nul, tandis qu’une fonction affine est de degré 1 et qu’un polynôme de degré 3 ou 4 est de degré supérieur.

📖 2. Forme canonique et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Sommet de la parabole : Point de coordonnées $(\alpha;\beta)$ de la parabole associée à $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=2x^2-20x+10$, la forme canonique est $f(x)=2(x-5)^2-40$.

• L’axe de symétrie de la parabole associée à la forme canonique est la droite d’équation $x=\alpha$.

📖 3. Variations et extremum

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dans un repère orthogonal.

📝 Points essentiels

📌 Si $a>0$, la fonction décroît jusqu’à $\beta$ en $\alpha$, puis croît ; elle admet un minimum égal à $\beta$ en $x=\alpha$ et sa parabole est tournée vers le haut.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole tournée vers le haut et minimum ; a < 0 : tournée vers le bas et maximum.

📖 4. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Racine : Solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$ pour la fonction polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a aucune solution réelle.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ a une seule solution, $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, les deux solutions distinctes de $ax^2+bx+c=0$ sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : une racine double ; Δ > 0 : deux racines.

📖 5. Factorisation et signe du trinôme

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racine et ne possède pas de forme factorisée.

📐 Formule - Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_0)^2$, où $x_0$ est sa racine double.

📐 Formule - Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont ses racines.

Compléments

• Le trinôme $4x^2+19x-5$ se factorise en $4(x+5)(x-0{,}25)$.

📖 6. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ ayant deux racines, leur somme est $S=-\frac{b}{a}$ et leur produit est $P=\frac{c}{a}$.

📐 Formule - Deux réels $x_1$ et $x_2$ ont pour somme $S$ et pour produit $P$ si et seulement s’ils sont les racines de $x^2-Sx+P=0$.

Compléments

• Deux nombres réels de somme 4 et de produit 1 sont $2-\sqrt3$ et $2+\sqrt3$.

• Pour $f(x)=-2x^2+x+1$, une racine est 1 et l’autre est $-\frac12$, obtenu à l’aide du produit des racines.

📊 Tableaux de synthèse

Signe de a et variations de la parabole