QCM : Polynômes du second degré (10 questions)

Question 1

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sous forme développée sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=ax^2+bx+c

, avec

a\ne0

f(x)=ax^2+bx+c

, avec

a=0

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

, avec

a\ne0

f(x)=ax^3+bx+c

, avec

a\ne0

Explication

La forme développée d’un polynôme du second degré est $ax^2+bx+c$ et son coefficient $a$ doit être non nul. La forme canonique est une autre écriture, tandis que $a=0$ supprime le terme de degré deux et que le terme en $x^3$ donne un degré supérieur.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$, avec $$a\ne0$$

Question 2

2. Parmi les expressions suivantes, laquelle représente une fonction polynôme du second degré plutôt qu’une fonction affine ou un polynôme de degré supérieur ?

3x^2-2x+1

3x^4-2x^2+1

3x-2

3x^3-2x+1

Explication

Un polynôme du second degré possède un terme en $x^2$ de coefficient non nul et aucun terme de degré supérieur. L’expression en $x^3$ est de degré trois, celle en $x$ est affine et celle en $x^4$ est de degré quatre.

Answer

$$3x^2-2x+1$$

Question 3

3. Une fonction est donnée sous la forme $f(x)=3x^2-12x+7$ . Quelle est sa forme canonique ?

3(x-4)^2+7

3(x+2)^2-5

3(x-2)^2+7

3(x-2)^2-5

Explication

Ici, $\alpha=-\frac{b}{2a}=2$ et $\beta=f(2)=12-24+7=-5$ , donc la forme canonique est $3(x-2)^2-5$ . Le centre $4$ vient de l’oubli du facteur $2$ , tandis que $+2$ inverse le signe dans le terme carré.

Answer

$$3(x-2)^2-5$$

Question 4

4. Une parabole est associée à la fonction $g(x)=-2(x+3)^2+4$ . Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

(-3;-2)

(-3;4)

(4;-3)

(3;4)

Explication

Dans la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ , le sommet a pour coordonnées $(\alpha;\beta)$ . Comme $x+3=x-(-3)$ , on a $\alpha=-3$ et $\beta=4$ ; le coefficient $-2$ n’est pas l’ordonnée du sommet.

Answer

$$(-3;4)$$

Question 5

5. Dans l’étude des variations d’un trinôme du second degré, que désigne son extremum lorsque son sommet est $\left(\alpha;\beta\right)$ ?

La valeur minimale ou maximale de la fonction, atteinte en

x=\alpha

Le coefficient qui détermine l’orientation, égal à

a=\beta

L’abscisse où la fonction change de signe, égale à

x=\beta

La valeur de la fonction à l’origine, égale à

f(0)=\alpha

Explication

L’extremum est la valeur minimale ou maximale prise par la fonction au sommet, donc il vaut $\beta$ et est atteint pour $x=\alpha$ . La valeur de la fonction à l’origine correspond à $f(0)$ et ne définit pas, en général, l’extremum.

Answer

La valeur minimale ou maximale de la fonction, atteinte en $$x=\alpha$$

Question 6

6. Pour le trinôme $4x^2+19x-5$ , quelle est la valeur de son discriminant $\Delta=b^2-4ac$ ?

361

21

-441

441

Explication

Avec $a=4$ , $b=19$ et $c=-5$ , on obtient $\Delta=19^2-4\times4\times(-5)=441$ . La valeur $361$ correspond à $b^2$ seul, sans tenir compte du terme $-4ac$ .

Answer

À repérer les racines et à déterminer le signe de chaque facteur selon les valeurs de x

Answer

Ils sont les racines de cette équation si et seulement si leur somme vaut $$S$$ et leur produit vaut $$P$$.

Answer

Parce que sa valeur détermine si le terme de degré 2 est présent.

Answer

$$x=\alpha$$

Question 7

7. À quoi sert la forme factorisée d’un trinôme pour étudier son signe ?

À lire directement les coordonnées du sommet et l’axe de symétrie de la parabole

À établir la somme et le produit des racines sans résoudre d’équation

À repérer les racines et à déterminer le signe de chaque facteur selon les valeurs de x

À calculer la valeur du discriminant sans connaître les coefficients du trinôme

Explication

La forme factorisée met en évidence les racines et permet d’étudier le signe du trinôme à partir de ses facteurs. La forme canonique sert plutôt à lire le sommet et l’axe de symétrie.

Question 8

8. Pour deux réels dont la somme est $S$ et le produit $P$ , quelle comparaison décrit correctement leur lien avec l’équation $x^2-Sx+P=0$ ?

Ils sont les racines de cette équation si leur somme vaut

P

et leur produit vaut

S

.

Ils sont les racines de cette équation si et seulement si leur somme vaut

S

et leur produit vaut

P

.

Ils sont les racines de cette équation lorsque leur somme vaut

-S

et leur produit vaut

P

.

Ils sont les racines de cette équation lorsque leur somme vaut

S

et leur produit vaut

-P

.

Explication

Le polynôme associé à cette équation a pour somme des racines $S$ et pour produit $P$ , ce qui caractérise les deux réels. Intervertir somme et produit, comme dans une proposition distractrice, ne respecte pas les relations entre les coefficients et les racines.

Question 9

9. Pourquoi le coefficient de $x^2$ doit-il être non nul pour que $f(x)=ax^2+bx+c$ soit une fonction polynôme du second degré ?

Parce qu’il impose que le coefficient de

x

soit également non nul.

Parce que sa valeur détermine si le terme de degré 2 est présent.

Parce qu’il garantit que le terme constant est différent de zéro.

Parce qu’il fixe le nombre de racines réelles de la fonction.

Explication

Un coefficient $a$ non nul assure que le terme en $x^2$ est présent et que le polynôme est bien de degré 2. Si ce coefficient était nul, le terme quadratique disparaîtrait et l’expression serait de degré inférieur.

Question 10

10. Pour repérer l’axe de symétrie d’une parabole à partir de la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle équation faut-il utiliser ?

x=\alpha

y=\alpha

x=\beta

y=\beta

Explication

Dans la forme canonique, l’abscisse $\alpha$ du sommet donne l’équation de l’axe de symétrie. L’équation $y=\beta$ décrit une droite horizontale, et non l’axe de symétrie de la parabole.

QCM : Polynômes du second degré (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sous forme développée sur $\mathbb{R}$ ?

2. Parmi les expressions suivantes, laquelle représente une fonction polynôme du second degré plutôt qu’une fonction affine ou un polynôme de degré supérieur ?

3. Une fonction est donnée sous la forme $f(x)=3x^2-12x+7$ . Quelle est sa forme canonique ?

4. Une parabole est associée à la fonction $g(x)=-2(x+3)^2+4$ . Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

5. Dans l’étude des variations d’un trinôme du second degré, que désigne son extremum lorsque son sommet est $\left(\alpha;\beta\right)$ ?

6. Pour le trinôme $4x^2+19x-5$ , quelle est la valeur de son discriminant $\Delta=b^2-4ac$ ?

7. À quoi sert la forme factorisée d’un trinôme pour étudier son signe ?

8. Pour deux réels dont la somme est $S$ et le produit $P$ , quelle comparaison décrit correctement leur lien avec l’équation $x^2-Sx+P=0$ ?

9. Pourquoi le coefficient de $x^2$ doit-il être non nul pour que $f(x)=ax^2+bx+c$ soit une fonction polynôme du second degré ?

10. Pour repérer l’axe de symétrie d’une parabole à partir de la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle équation faut-il utiliser ?

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Crée tes propres QCM

QCM : Polynômes du second degré (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sous forme développée sur R\mathbb{R}R ?

2. Parmi les expressions suivantes, laquelle représente une fonction polynôme du second degré plutôt qu’une fonction affine ou un polynôme de degré supérieur ?

3. Une fonction est donnée sous la forme f(x)=3x2−12x+7f(x)=3x^2-12x+7f(x)=3x2−12x+7. Quelle est sa forme canonique ?

4. Une parabole est associée à la fonction g(x)=−2(x+3)2+4g(x)=-2(x+3)^2+4g(x)=−2(x+3)2+4. Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

5. Dans l’étude des variations d’un trinôme du second degré, que désigne son extremum lorsque son sommet est (α;β)\left(\alpha;\beta\right)(α;β) ?

6. Pour le trinôme 4x2+19x−54x^2+19x-54x2+19x−5, quelle est la valeur de son discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4acΔ=b2−4ac ?

7. À quoi sert la forme factorisée d’un trinôme pour étudier son signe ?

8. Pour deux réels dont la somme est SSS et le produit PPP, quelle comparaison décrit correctement leur lien avec l’équation x2−Sx+P=0x^2-Sx+P=0x2−Sx+P=0 ?

9. Pourquoi le coefficient de x2x^2x2 doit-il être non nul pour que f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c soit une fonction polynôme du second degré ?

10. Pour repérer l’axe de symétrie d’une parabole à partir de la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, quelle équation faut-il utiliser ?

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1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré sous forme développée sur $\mathbb{R}$ ?

3. Une fonction est donnée sous la forme $f(x)=3x^2-12x+7$ . Quelle est sa forme canonique ?

4. Une parabole est associée à la fonction $g(x)=-2(x+3)^2+4$ . Quelles sont les coordonnées de son sommet ?

5. Dans l’étude des variations d’un trinôme du second degré, que désigne son extremum lorsque son sommet est $\left(\alpha;\beta\right)$ ?

6. Pour le trinôme $4x^2+19x-5$ , quelle est la valeur de son discriminant $\Delta=b^2-4ac$ ?

8. Pour deux réels dont la somme est $S$ et le produit $P$ , quelle comparaison décrit correctement leur lien avec l’équation $x^2-Sx+P=0$ ?

9. Pourquoi le coefficient de $x^2$ doit-il être non nul pour que $f(x)=ax^2+bx+c$ soit une fonction polynôme du second degré ?

10. Pour repérer l’axe de symétrie d’une parabole à partir de la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , quelle équation faut-il utiliser ?