QCM : Polynômes du second degré (15 questions)

Question 1

1. Une fonction est donnée par $g(x)=4x^2-7x+3$ . Quelle caractéristique confirme qu’elle est un polynôme du second degré écrit sous forme développée ?

Le coefficient de

x^2

est non nul et l’expression suit la forme

ax^2+bx+c

.

Le coefficient de

x

est non nul et l’expression suit la forme

ax^2+bx+c

.

Le terme constant est non nul et l’expression suit la forme

ax^2+bx+c

.

L’expression est écrite sous la forme

a(x-\alpha)^2+\beta

.

Explication

Un polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ; le coefficient de $x^2$ détermine donc le degré. Confondre ce coefficient avec celui de $x$ ou avec le terme constant ne suffit pas à établir le degré, et la forme en carré est la forme canonique.

Answer

Le coefficient de $$x^2$$ est non nul et l’expression suit la forme $$ax^2+bx+c$$.

Question 2

2. Après réduction de $5x-2x^2-20+8x$ , quelle est l’expression sous forme développée ?

-2x^2+13x-20

-2x^2+13x+20

-2x^2+3x-20

2x^2+13x-20

Explication

En regroupant les termes de même degré, on obtient $5x+8x=13x$ , tandis que $-2x^2$ et $-20$ restent inchangés. Le résultat est donc $-2x^2+13x-20$ ; les autres réponses résultent d’une erreur de réduction ou de signe.

Answer

$$-2x^2+13x-20$$

Question 3

3. Pour $f(x)=2x^2-12x+7$ , quelles valeurs de $\alpha$ et $\beta$ donnent la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

\alpha=3

et

\beta=-11

\alpha=-3

et

\beta=-11

\alpha=3

et

\beta=-29

\alpha=6

et

\beta=7

Explication

La formule donne $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{4}=3$ , puis $\beta=f(3)=18-36+7=-11$ . Prendre $\alpha=6$ oublie le facteur $2$ , choisir $-3$ inverse le signe, et $-29$ ne correspond pas à $f(3)$ .

Answer

$$\alpha=3$$ et $$\beta=-11$$

Question 4

4. Une fonction a pour forme canonique $f(x)=3(x-2)^2+5$ . Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

(-2;5)

(5;2)

(2;5)

(2;3)

Explication

Dans la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ , le sommet a pour coordonnées $(\alpha;\beta)$ ; ici il s’agit donc de $(2;5)$ . Les autres coordonnées inversent les valeurs, changent le signe de $\alpha$ ou prennent le coefficient $a$ pour $\beta$ .

Answer

Elle décroît jusqu’à $$-5$$ en $$x=2$$, puis croît.

Answer

$$7$$, atteint pour $$x=1$$

Answer

$$-2x^2+5x-3=0$$

Answer

$$3^2-4(-2)(2)=25$$

Answer

Aucune solution réelle

Answer

$$2$$ et $$3$$

Answer

Somme $$4$$ et produit $$3$$

Answer

$$x^2-5x+6$$

Answer

Il ne peut pas être factorisé en facteurs du premier degré réels.

Answer

$$9\left(x-\frac13\right)^2$$

Answer

$$-2(x+1)(x-4)$$

Question 5

5. Une fonction quadratique a pour coefficient dominant $a=3$ et son sommet est $S(2;-5)$ . Quel est son comportement de part et d’autre de $x=2$ ?

Elle décroît jusqu’à

2

en

x=-5

, puis croît.

Elle croît jusqu’à

2

en

x=-5

, puis décroît.

Elle croît jusqu’à

-5

en

x=2

, puis décroît.

Elle décroît jusqu’à

-5

en

x=2

, puis croît.

Explication

Lorsque $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’au sommet, où elle atteint son minimum, puis croît. L’option associée à un maximum inverse l’effet du signe de $a$ , tandis que les autres échangent les coordonnées du sommet ou inversent les variations.

Question 6

6. Pour la fonction $f(x)=4x^2-8x+11$ , quel est le minimum atteint et à quelle abscisse ?

3

, atteint pour

x=1

7

, atteint pour

x=1

11

, atteint pour

x=0

1

, atteint pour

x=7

Explication

Le sommet de cette fonction est $S(1;7)$ , donc le minimum vaut $7$ et est atteint pour $x=1$ . La réponse donnant $1$ comme minimum confond les coordonnées du sommet, celle donnant $3$ calcule incorrectement l’ordonnée, et $11$ est la valeur en $x=0$ .

Question 7

7. Laquelle des équations suivantes est une équation du second degré au sens où son coefficient de $x^2$ doit être non nul ?

-2x^2+5x-3=0

0x^2+5x-3=0

5x-3=0

2x^3+5x-3=0

Explication

Une équation du second degré s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ ; l’équation proposée a donc bien un terme quadratique de coefficient non nul. Un coefficient nul supprime ce terme, tandis que les deux autres choix sont de degré trois et de degré un.

Question 8

8. Pour le trinôme $-2x^2+3x+2$ , quelle expression donne son discriminant ?

3^2-(-2)(2)=13

3^2+4(-2)(2)=-7

3^2-4(2)(2)=-7

3^2-4(-2)(2)=25

Explication

Le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ ; ici, $\Delta=3^2-4(-2)(2)=9+16=25$ . Omettre le facteur $4$ , changer le signe de $a$ ou remplacer la soustraction par une addition correspond à des erreurs distinctes dans la formule.

Question 9

9. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=-9$ . Combien possède-t-elle de solutions réelles ?

Deux solutions réelles distinctes

Une solution réelle double et une autre solution réelle

Aucune solution réelle

Une seule solution réelle

Explication

Lorsque $\Delta<0$ , l’équation du second degré n’a aucune solution réelle. Une solution unique correspond à $\Delta=0$ , tandis que deux solutions réelles distinctes correspondent à $\Delta>0$ ; l’option de racines complexes ne répond pas à la question sur les solutions réelles.

Question 10

10. Pour $x^2-5x+6=0$ , le discriminant vaut $1$ . Quelles sont les deux solutions obtenues avec la formule du discriminant ?

1

et

4

\frac{5}{2}

seulement

2

et

3

-3

et

-2

Explication

Avec $a=1$ , $b=-5$ et $\Delta=1$ , la formule donne $x=\frac{5\pm1}{2}$ , soit $2$ et $3$ . Les valeurs négatives résultent d’une erreur de signe, $1$ et $4$ correspondent à un calcul incorrect du dénominateur ou des numérateurs, et un discriminant positif donne deux solutions.

Question 11

11. Un trinôme possède deux racines réelles distinctes et s’écrit $f(x)=3x^2-12x+9$ . Quelles sont la somme et le produit de ses racines ?

Somme

-4

et produit

3

Somme

4

et produit

9

Somme

4

et produit

3

Somme

3

et produit

4

Explication

Pour $ax^2+bx+c$ , la somme vaut $-b/a$ et le produit $c/a$ ; ici, cela donne $-(-12)/3=4$ et $9/3=3$ . La somme négative inverse le signe, le produit $9$ omet la division par $a$ , et les valeurs $3$ et $4$ permutent les deux résultats.

Question 12

12. Deux réels ont pour somme $5$ et pour produit $6$ . Quel trinôme monique a précisément ces deux nombres pour racines ?

x^2-5x+6

x^2-5x-6

x^2+6x+5

x^2+5x+6

Explication

Des racines de somme $S$ et de produit $P$ sont les racines de $x^2-Sx+P$ ; pour $S=5$ et $P=6$ , on obtient $x^2-5x+6$ . Le signe positif devant $5x$ inverse le signe de la somme, le terme constant $-6$ inverse celui du produit, et $6x+5$ intervertit les rôles de la somme et du produit.

Question 13

13. Un trinôme réel a un discriminant strictement négatif. Quelle conclusion peut-on tirer quant à sa factorisation en facteurs du premier degré réels ?

Il se factorise en un facteur du premier degré réel et un facteur constant.

Il se factorise en deux facteurs du premier degré réels distincts.

Il ne peut pas être factorisé en facteurs du premier degré réels.

Il se factorise en le carré d’un facteur du premier degré réel.

Explication

Lorsque le discriminant est négatif, le trinôme n’a pas de factorisation en facteurs du premier degré à coefficients réels. Deux facteurs réels distincts correspondent au cas du discriminant positif, et un carré d’un facteur réel au cas nul ; l’existence d’un facteur linéaire réel contredit l’absence de racines réelles.

Question 14

14. Le trinôme $f(x)=9x^2-6x+1$ a un discriminant nul et pour racine double $\frac13$ . Quelle est sa forme factorisée ?

9\left(x-\frac13\right)^2

9\left(x-\frac13\right)

\left(x-\frac13\right)^2

9\left(x+\frac13\right)^2

Explication

Avec un discriminant nul, la factorisation est $a(x-x_0)^2$ ; ici, $a=9$ et $x_0=\frac13$ . Le facteur sans carré oublie la multiplicité de la racine, le signe plus change la racine, et l’expression sans le coefficient $9$ ne restitue pas le trinôme.

Question 15

15. Un trinôme a pour coefficient dominant $-2$ et pour racines distinctes $-1$ et $4$ . Quelle est sa factorisation ?

-2(x+1)^2

2(x+1)(x-4)

-2(x-1)(x-4)

-2(x+1)(x-4)

Explication

Pour deux racines distinctes, la forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; avec $a=-2$ , $x_1=-1$ et $x_2=4$ , on obtient $-2(x+1)(x-4)$ . Le coefficient positif perd le signe de $a$ , le facteur $x-1$ correspond à une racine différente, et un carré ne représente pas deux racines distinctes.

QCM : Polynômes du second degré (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction est donnée par $g(x)=4x^2-7x+3$ . Quelle caractéristique confirme qu’elle est un polynôme du second degré écrit sous forme développée ?

2. Après réduction de $5x-2x^2-20+8x$ , quelle est l’expression sous forme développée ?

3. Pour $f(x)=2x^2-12x+7$ , quelles valeurs de $\alpha$ et $\beta$ donnent la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

4. Une fonction a pour forme canonique $f(x)=3(x-2)^2+5$ . Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

5. Une fonction quadratique a pour coefficient dominant $a=3$ et son sommet est $S(2;-5)$ . Quel est son comportement de part et d’autre de $x=2$ ?

6. Pour la fonction $f(x)=4x^2-8x+11$ , quel est le minimum atteint et à quelle abscisse ?

7. Laquelle des équations suivantes est une équation du second degré au sens où son coefficient de $x^2$ doit être non nul ?

8. Pour le trinôme $-2x^2+3x+2$ , quelle expression donne son discriminant ?

9. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=-9$ . Combien possède-t-elle de solutions réelles ?

10. Pour $x^2-5x+6=0$ , le discriminant vaut $1$ . Quelles sont les deux solutions obtenues avec la formule du discriminant ?

11. Un trinôme possède deux racines réelles distinctes et s’écrit $f(x)=3x^2-12x+9$ . Quelles sont la somme et le produit de ses racines ?

12. Deux réels ont pour somme $5$ et pour produit $6$ . Quel trinôme monique a précisément ces deux nombres pour racines ?

13. Un trinôme réel a un discriminant strictement négatif. Quelle conclusion peut-on tirer quant à sa factorisation en facteurs du premier degré réels ?

14. Le trinôme $f(x)=9x^2-6x+1$ a un discriminant nul et pour racine double $\frac13$ . Quelle est sa forme factorisée ?

15. Un trinôme a pour coefficient dominant $-2$ et pour racines distinctes $-1$ et $4$ . Quelle est sa factorisation ?

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QCM : Polynômes du second degré (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une fonction est donnée par g(x)=4x2−7x+3g(x)=4x^2-7x+3g(x)=4x2−7x+3. Quelle caractéristique confirme qu’elle est un polynôme du second degré écrit sous forme développée ?

2. Après réduction de 5x−2x2−20+8x5x-2x^2-20+8x5x−2x2−20+8x, quelle est l’expression sous forme développée ?

3. Pour f(x)=2x2−12x+7f(x)=2x^2-12x+7f(x)=2x2−12x+7, quelles valeurs de α\alphaα et β\betaβ donnent la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β ?

4. Une fonction a pour forme canonique f(x)=3(x−2)2+5f(x)=3(x-2)^2+5f(x)=3(x−2)2+5. Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

5. Une fonction quadratique a pour coefficient dominant a=3a=3a=3 et son sommet est S(2;−5)S(2;-5)S(2;−5). Quel est son comportement de part et d’autre de x=2x=2x=2 ?

6. Pour la fonction f(x)=4x2−8x+11f(x)=4x^2-8x+11f(x)=4x2−8x+11, quel est le minimum atteint et à quelle abscisse ?

7. Laquelle des équations suivantes est une équation du second degré au sens où son coefficient de x2x^2x2 doit être non nul ?

8. Pour le trinôme −2x2+3x+2-2x^2+3x+2−2x2+3x+2, quelle expression donne son discriminant ?

9. Une équation du second degré a pour discriminant Δ=−9\Delta=-9Δ=−9. Combien possède-t-elle de solutions réelles ?

10. Pour x2−5x+6=0x^2-5x+6=0x2−5x+6=0, le discriminant vaut 111. Quelles sont les deux solutions obtenues avec la formule du discriminant ?

11. Un trinôme possède deux racines réelles distinctes et s’écrit f(x)=3x2−12x+9f(x)=3x^2-12x+9f(x)=3x2−12x+9. Quelles sont la somme et le produit de ses racines ?

12. Deux réels ont pour somme 555 et pour produit 666. Quel trinôme monique a précisément ces deux nombres pour racines ?

13. Un trinôme réel a un discriminant strictement négatif. Quelle conclusion peut-on tirer quant à sa factorisation en facteurs du premier degré réels ?

14. Le trinôme f(x)=9x2−6x+1f(x)=9x^2-6x+1f(x)=9x2−6x+1 a un discriminant nul et pour racine double 13\frac1331​. Quelle est sa forme factorisée ?

15. Un trinôme a pour coefficient dominant −2-2−2 et pour racines distinctes −1-1−1 et 444. Quelle est sa factorisation ?

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1. Une fonction est donnée par $g(x)=4x^2-7x+3$ . Quelle caractéristique confirme qu’elle est un polynôme du second degré écrit sous forme développée ?

2. Après réduction de $5x-2x^2-20+8x$ , quelle est l’expression sous forme développée ?

3. Pour $f(x)=2x^2-12x+7$ , quelles valeurs de $\alpha$ et $\beta$ donnent la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

4. Une fonction a pour forme canonique $f(x)=3(x-2)^2+5$ . Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

5. Une fonction quadratique a pour coefficient dominant $a=3$ et son sommet est $S(2;-5)$ . Quel est son comportement de part et d’autre de $x=2$ ?

6. Pour la fonction $f(x)=4x^2-8x+11$ , quel est le minimum atteint et à quelle abscisse ?

7. Laquelle des équations suivantes est une équation du second degré au sens où son coefficient de $x^2$ doit être non nul ?

8. Pour le trinôme $-2x^2+3x+2$ , quelle expression donne son discriminant ?

9. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=-9$ . Combien possède-t-elle de solutions réelles ?

10. Pour $x^2-5x+6=0$ , le discriminant vaut $1$ . Quelles sont les deux solutions obtenues avec la formule du discriminant ?

11. Un trinôme possède deux racines réelles distinctes et s’écrit $f(x)=3x^2-12x+9$ . Quelles sont la somme et le produit de ses racines ?

12. Deux réels ont pour somme $5$ et pour produit $6$ . Quel trinôme monique a précisément ces deux nombres pour racines ?

14. Le trinôme $f(x)=9x^2-6x+1$ a un discriminant nul et pour racine double $\frac13$ . Quelle est sa forme factorisée ?

15. Un trinôme a pour coefficient dominant $-2$ et pour racines distinctes $-1$ et $4$ . Quelle est sa factorisation ?