Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Écriture et coefficients du polynôme
2. Discriminant et nombre de racines
3. Calcul des racines réelles
4. Forme canonique et paramètres
5. Factorisation selon le discriminant
6. Somme et produit des racines

📖 1. Écriture et coefficients du polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Un polynôme du second degré s’écrit sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$.

★ À maîtriser

• Dans $f(x)=ax^2+bx+c$, $a$ est le coefficient de $x^2$, $b$ celui de $x$ et $c$ le terme constant.

Compléments

📌 Si aucun nombre n’est écrit devant $x^2$, alors le coefficient $a$ vaut 1.

📖 2. Discriminant et nombre de racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant d’un polynôme du second degré est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, le polynôme a deux racines réelles ; si $\Delta=0$, il a une racine réelle ; si $\Delta<0$, il n’a aucune racine réelle.

Compléments

• Pour calculer le discriminant, on identifie $a$, $b$ et $c$, on remplace ces coefficients dans $\Delta=b^2-4ac$, puis on effectue le calcul.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; Δ nul : une racine ; Δ négatif : aucune racine réelle.

📖 3. Calcul des racines réelles

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque $\Delta>0$, les racines sont $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2-5x+6$, on a $a=1$, $b=-5$, $c=6$ et $\Delta=1$ ; les formules donnent $x_1=3$ et $x_2=2$.

💡 Astuce mémo

Le signe + donne x₁ ; le signe − donne x₂.

📖 4. Forme canonique et paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans la forme canonique, $\alpha=\frac{-b}{2a}$ et $\beta=\frac{-\Delta}{4a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2-4x+3$, on a $a=1$, $b=-4$ et $\Delta=4$, donc $\alpha=2$, $\beta=-1$ et $f(x)=(x-2)^2-1$.

• Si $\alpha=-2$, alors $x-\alpha=x+2$.

📖 5. Factorisation selon le discriminant

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta=0$, $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta<0$, il n’existe pas de forme factorisée à racines réelles.

Compléments

• Comme $x_1=3$ et $x_2=2$ pour $f(x)=x^2-5x+6$, sa forme factorisée est $f(x)=(x-3)(x-2)$.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux facteurs distincts ; Δ nul : un facteur au carré ; Δ négatif : pas de factorisation réelle.

📖 6. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour les racines $x_1$ et $x_2$, leur somme est $S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}$.

📐 Formule - Pour les racines $x_1$ et $x_2$, leur produit est $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2-5x+6$, la somme des racines 3 et 2 vaut 5 et leur produit vaut 6.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et racines

Somme et produit des racines