Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Identités remarquables et développement
2. Polynôme, racine et factorisation
3. Discriminant et résolution
4. Forme canonique et parabole
5. Signe et inéquations
6. Somme et produit des racines
7. Équations bicarrées

📖 1. Identités remarquables et développement

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .

Compléments

• Le développement de $(3x-\frac{7}{2})^2$ donne $9x^2-21x+\frac{49}{4}$ .

📖 2. Polynôme, racine et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Une fonction qui s’écrit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec a, b et c réels et $a\ne0$.
• Racine : Un réel α tel que $P(\alpha)=0$ ; dans ce cas, P est factorisable par $$(x-\alpha)$.

💡 Astuce mémo

Racine α → facteur (x − α)

📖 3. Discriminant et résolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Pour $P(x)=ax^2+bx+c$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, P possède deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, P possède une racine réelle double $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta<0$, P ne possède aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; Δ nul : une racine ; Δ négatif : aucune racine réelle

📖 4. Forme canonique et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Une écriture $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.

📝 Points essentiels

• Le sommet de la parabole représentative de P est le point $S(\alpha;\beta)$ et son axe de symétrie est la droite $x=\alpha$.

📌 Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut et P admet un minimum en α ; si a < 0, elle est ouverte vers le bas et P admet un maximum en α.

💡 Astuce mémo

Une parabole centrée sur son sommet S(α ; β), autour de l’axe x = α

📖 5. Signe et inéquations

★ À maîtriser

📌 Si Δ > 0, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des deux racines et du signe opposé à a entre elles.

Compléments

📌 Si Δ = 0, le trinôme est du signe de a sur R sauf en sa racine double, où il est nul.

📌 Si Δ < 0, le trinôme est partout du signe de a.

• L’inéquation $(x-4)^2\le(-5x+2)^2$ se réduit à $-2x^2+x+1\le0$ et a pour solution $S=]-\infty;-\frac12]\cup[1;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines : signe de a ; entre elles : signe opposé

📖 6. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux racines distinctes x₁ et x₂ de $P(x)=ax^2+bx+c$, leur somme et leur produit vérifient $x_1+x_2=-\frac ba$ et $x_1x_2=\frac ca$.

Compléments

• Si S = x₁ + x₂ et P = x₁x₂, alors x₁ et x₂ sont les racines du polynôme $x^2-Sx+P$.

• Pour $Q(x)=3x^2-x-2$, 1 est une racine évidente car $Q(1)=0$, et la seconde racine vaut $-\frac23$.

📖 7. Équations bicarrées

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation bicarrée, on pose $X=x^2$, on résout l’équation du second degré en X, puis on résout $x^2=X$ pour chaque valeur admissible de X.

Compléments

• L’équation $x^4-3x^2+2=0$ devient $X^2-3X+2=0$, donnant X = 1 ou X = 2, puis les solutions $S=\{-\sqrt2;-1;1;\sqrt2\}$.

• Pour $-2x^4+x^2+1=0$, les valeurs X = 1 et X = −1/2 conduisent seulement à $S=\{-1;1\}$, car $x^2=-\frac12$ est impossible dans R.

💡 Astuce mémo

x⁴ → X² avec X = x² → valeurs de X → valeurs de x

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de racines selon le discriminant