QCM : Polynômes du second degré — 17 questions

Explication

Le carré d’une différence se développe en conservant les carrés des deux termes et en prenant un terme du milieu égal à $-2ab$. L’expression avec $+2ab$ correspond au carré d’une somme, et les deux autres formules modifient incorrectement les termes.

Explication

En appliquant $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=3x$ et $b=\frac{7}{2}$, on obtient les termes $9x^2$, $-21x$ et $\frac{49}{4}$. Le signe positif devant le terme en $x$ ne conviendrait pas à une différence, tandis que les autres erreurs portent sur le coefficient ou la constante.

Explication

Un polynôme du second degré s’écrit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ; ici, le coefficient de $x^2$ vaut 3. Les autres expressions sont respectivement de degré 1, de degré 3 et de degré 0.

Explication

La condition $P(\alpha)=0$ définit $\alpha$ comme une racine et implique que $P$ possède le facteur $x-\alpha$. Le facteur $x+\alpha$ correspondrait à une racine $-\alpha$, tandis que les autres réponses confondent la racine avec un coefficient ou une constante.

Explication

Le discriminant d’un polynôme du second degré est calculé par $\Delta=b^2-4ac$. Les autres expressions changent le signe du produit ou remplacent incorrectement le carré de $b$.

Explication

Ici, $\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-2)=25>0$, donc les deux formules donnent $x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12$ et $x_2=\frac{3+5}{4}=2$. Les autres couples résultent d’erreurs de signe ou d’un mauvais calcul du dénominateur.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, les deux solutions se confondent en une racine réelle double donnée par $x_0=-\frac{b}{2a}$. Deux racines distinctes correspondent à $\Delta>0$, tandis que l’absence de racine réelle correspond à $\Delta<0$ ; le signe de la formule est également essentiel.

Explication

Un discriminant $\Delta<0$ signifie qu’aucune solution réelle n’existe pour l’équation associée. Une racine double apparaît lorsque $\Delta=0$, tandis que deux racines distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$.

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2$, puis $\beta=P(2)=-3$. La confusion fréquente consiste à prendre le terme constant comme valeur de $\beta$, alors que $\beta$ est l’image de $\alpha$ par le polynôme.

Explication

Comme $x+1=x-(-1)$, on a $\alpha=-1$ et $\beta=4$ ; le sommet est donc $S(-1;4)$ et l’axe est $x=-1$. L’axe de symétrie est une droite verticale déterminée par $\alpha$, et non par $\beta$.

Explication

Le coefficient de la forme canonique vaut $a=-2<0$ : la parabole est donc ouverte vers le bas et le sommet fournit un maximum. Ce maximum est atteint pour $x=3$ et vaut $7$.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, le trinôme prend le signe de $a$ à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles. Comme $a>0$, il est donc négatif dans l’intervalle situé entre les deux racines.

Explication

Avec $\Delta=0$, le trinôme conserve le signe de $a$ sur toute la droite réelle, à l’exception de sa racine double où il s’annule. Il ne change donc pas de signe, contrairement au cas où le discriminant est strictement positif.

Explication

Les relations entre les racines donnent $x_1+x_2=-\frac ba=-\frac{-6}{2}=3$ et $x_1x_2=\frac ca=\frac42=2$. La somme utilise le coefficient opposé de $b$, tandis que le produit utilise directement le rapport $c/a$.

Explication

Les racines sont celles du polynôme $x^2-Sx+P$ ; en remplaçant $S$ et $P$, on obtient $x^2-5x+6$. Le coefficient de $x$ est donc l’opposé de la somme, tandis que le terme constant est le produit.

Explication

La substitution $X=x^2$ transforme l’équation bicarrée en une équation du second degré en $X$; chaque valeur admissible de $X$ doit ensuite être étudiée dans $x^2=X$. Poser $X=x^4$ ne permet pas de traiter correctement le terme en $x^2$ ni de déterminer directement toutes les solutions réelles.

Explication

La relation $x^2=X$ admet deux solutions réelles lorsque $X=1$, mais aucune lorsque $X=-\frac{1}{2}$, car un carré réel ne peut pas être négatif. La valeur négative ne donne donc pas les deux racines réelles associées à une valeur positive.