Fiche de révision : Pourcentages et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Proportions et populations de référence
2. Calculs de partie et de total
3. Pourcentages imbriqués
4. Coefficients multiplicateurs simples
5. Variations absolues et relatives
6. Évolutions successives
7. Évolutions réciproques
8. Applications géométriques des pourcentages

📖 1. Proportions et populations de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Comparaison de l’effectif d’une sous-population à celui de la population totale de référence.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le pourcentage d’une partie de taille $y$ dans une population de taille $x$ est $t=\frac{y}{x}\times100$.

Compléments

• Dans un ensemble de 180 pages comprenant 45 pages de publicité, les pages de publicité représentent 25 % du total.

💡 Astuce mémo

La partie se rapporte au total : changer de population de référence change le pourcentage.

📖 2. Calculs de partie et de total

★ À maîtriser

📐 Formule - La partie correspondant à $t\%$ d’un total $x$ vaut $y=\frac{t}{100}\times x$.

📐 Formule - Si une partie $y$ représente $t\%$ du total, celui-ci vaut $x=\frac{y\times100}{t}$.

Compléments

• 30 % de 180 vaut 54.

• Si 42 pages représentent 20 % d’un magazine, celui-ci contient 210 pages.

📖 3. Pourcentages imbriqués

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $B$ représente la proportion $p$ de $A$ et $C$ la proportion $p'$ de $B$, alors la proportion de $C$ dans $A$ vaut $p\times p'$.

📌 Pour calculer un pourcentage portant successivement sur deux populations emboîtées, on multiplie les proportions décimales au lieu d’additionner les pourcentages.

Compléments

• Si 30 % des plats sont des entrées et que 60 % des entrées sont végétariennes, 18 % des plats sont des entrées végétariennes.

• Si un quart des inscrits est admissible et que 42 % des admissibles sont admis, 10,5 % des inscrits sont admis.

💡 Astuce mémo

Une partie d’une partie se calcule en multipliant les proportions.

📖 4. Coefficients multiplicateurs simples

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une hausse de $t\%$, le coefficient multiplicateur est $CM=1+\frac{t}{100}$ et la valeur d’arrivée vaut $V_A=V_D\times CM$.

📐 Formule - Pour une baisse de $t\%$, le coefficient multiplicateur est $CM=1-\frac{t}{100}$ et la valeur d’arrivée vaut $V_A=V_D\times CM$.

Compléments

📐 Formule - Le taux associé à un coefficient multiplicateur est $t=(CM-1)\times100$.

• Une hausse de 30 % correspond au coefficient multiplicateur 1,30.

• Un coefficient multiplicateur de 0,89 correspond à une baisse de 11 %.

💡 Astuce mémo

Hausse : coefficient au-dessus de 1 ; baisse : coefficient au-dessous de 1.

📖 5. Variations absolues et relatives

★ À maîtriser

• La variation absolue entre une valeur de départ $V_D$ et une valeur d’arrivée $V_A$ vaut $V_A-V_D$.

📐 Formule - La variation relative entre une valeur de départ $V_D$ et une valeur d’arrivée $V_A$ vaut $\frac{V_A-V_D}{V_D}$.

Compléments

📐 Formule - Le taux de variation en pourcentage vaut $\frac{V_A-V_D}{V_D}\times100$.

📌 La variation absolue s’exprime dans l’unité de la valeur étudiée, tandis que la variation relative rapporte l’écart à la valeur de départ.

📖 6. Évolutions successives

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour plusieurs évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients successifs : $CM_{global}=CM_1\times CM_2\times\cdots$.

📐 Formule - Le taux global correspondant au coefficient multiplicateur global est $t_{global}=(CM_{global}-1)\times100$.

Compléments

📌 Une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 20 % ne ramène pas à la valeur initiale, car les deux taux s’appliquent à des valeurs de départ différentes.

• Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 40 % donne un coefficient global de 0,66 et une évolution globale de −34 %.

• Trois baisses successives de 30 % correspondent à une baisse globale de 65,7 %.

💡 Astuce mémo

Coefficients successifs → coefficient global → taux global.

📖 7. Évolutions réciproques

★ À maîtriser

📐 Formule - Le coefficient multiplicateur réciproque permettant de retrouver la valeur initiale est $CM_{réciproque}=\frac{1}{CM}$.

📐 Formule - Le taux réciproque correspondant au coefficient initial $CM$ est $t_{réciproque}=\left(\frac{1}{CM}-1\right)\times100$.

Compléments

• Après une hausse de 86 %, revenir à la valeur initiale nécessite une baisse d’environ 46,2 %.

📖 8. Applications géométriques des pourcentages

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un rectangle dont la longueur varie de −25 % et la largeur de −75 %, l’aire est multipliée par $0{,}75\times0{,}25=0{,}1875$ et diminue de 81,25 %.

📐 Formule - Si l’aire d’un carré augmente de 96 %, le coefficient multiplicateur de chaque côté est $\sqrt{1{,}96}=1{,}40$, soit une hausse des côtés de 40 %.

📐 Formule - Si le rayon d’un cylindre augmente de 20 % et sa hauteur de 30 %, le volume est multiplié par $1{,}2^2\times1{,}3=1{,}872$ et augmente de 87,2 %.