Fiche de révision : Prérequis de topologie réelle

📋 Plan du Cours

1. Encadrement par la propriété d’Archimède
2. Parties ouvertes et fermées
3. Stabilité des ouverts et fermés
4. Caractérisations par suites et continuité

📖 1. Encadrement par la propriété d’Archimède

★ À maîtriser

• Pour tout réel a positif, il existe un entier naturel non nul n tel que $\frac{1}{n} < a < n$.

Compléments

• La borne supérieure de l’encadrement est obtenue en appliquant la propriété d’Archimède à x = 1 et y = a, ce qui donne un entier naturel non nul n₂ > a.

• En prenant n = max(n₁, n₂), on conserve les deux inégalités, car 1/n ≤ 1/n₁ et n ≥ n₂.

📖 2. Parties ouvertes et fermées

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie ouverte : Une partie U de ℝ est ouverte si, pour tout x ∈ U, il existe ε > 0 tel que [x − ε, x + ε[ ⊂ U.
• Partie fermée : Une partie F de ℝ est fermée si son complémentaire ℝ \ F est ouvert.

📝 Points essentiels

• Les intervalles suivants sont ouverts :

  • ]a,b[
  • ]a,+∞[
  • ]−∞,b[
  • ]−∞,+∞[

• Les intervalles suivants sont fermés :

  • {a}
  • [a,b]
  • [a,+∞[
  • ]−∞,b]
  • ]−∞,+∞]

• L’ensemble vide ∅ et ℝ sont à la fois ouverts et fermés.

💡 Astuce mémo

Ouvert : chaque point possède un voisinage inclus ; fermé : le complémentaire est ouvert.

📖 3. Stabilité des ouverts et fermés

📝 Points essentiels

📌 La réunion d’un nombre quelconque d’ouverts et l’intersection d’un nombre fini d’ouverts sont ouvertes.

📌 La réunion d’un nombre fini de fermés et l’intersection d’un nombre quelconque de fermés sont fermées.

💡 Astuce mémo

Pour les ouverts, union quelconque et intersection finie ; pour les fermés, union finie et intersection quelconque.

📖 4. Caractérisations par suites et continuité

📝 Points essentiels

📌 Une partie F de ℝ est fermée si et seulement si toute suite convergente de points de F a sa limite dans F.

📌 Une fonction f : ℝ → ℝ est continue si et seulement si, pour tout ouvert U de ℝ, l’image réciproque f⁻¹(U) est ouverte.