QCM : Prérequis de topologie réelle (8 questions)

Question 1

1. Pour un réel positif fixé $a=0{,}4$ , quel encadrement la propriété d’Archimède garantit-il pour un certain entier naturel non nul $n$ ?

\frac{1}{n}<n<0{,}4

n<0{,}4<\frac{1}{n}

0{,}4<\frac{1}{n}<n

\frac{1}{n}<0{,}4<n

Explication

Pour tout réel positif $a$ , il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $\frac{1}{n}<a<n$ . Ici, la valeur de $a$ change, mais la forme de l’encadrement reste la même ; les autres réponses inversent ou déplacent ses bornes.

Answer

$$\frac{1}{n}<0{,}4<n$$

Question 2

2. Une construction fournit des entiers naturels non nuls $n_1$ et $n_2$ tels que $\frac{1}{n_1}<a$ et $a<n_2$ . Quel choix d’entier permet de réunir ces deux inégalités dans un seul encadrement ?

n=\min(n_1,n_2)-1

n=n_1+n_2

n=\max(n_1,n_2)

n=\min(n_1,n_2)

Explication

Avec $n=\max(n_1,n_2)$ , on a $n\geq n_2$ et $\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n_1}$ , ce qui conserve les deux inégalités nécessaires. Le minimum peut ne pas préserver la borne supérieure, tandis que la somme et un entier inférieur aux deux ne correspondent pas à la combinaison garantie.

Answer

$$n=\max(n_1,n_2)$$

Question 3

3. Pour vérifier qu’un ensemble $U\subset\mathbb{R}$ est ouvert, on examine chaque $x\in U$ . Quelle condition locale faut-il pouvoir satisfaire ?

Trouver

\varepsilon>0

tel que

]x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset U

Trouver

\varepsilon>0

tel que

[x-\varepsilon,x+\varepsilon]\subset U

Trouver

\varepsilon>0

tel que

[x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset U

Trouver un

\varepsilon>0

commun tel que

[x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset U

Explication

L’ouverture demande, pour chaque point de $U$ , l’existence d’un rayon positif dont le voisinage $[x-\varepsilon,x+\varepsilon[$ reste dans $U$ . Un rayon commun à tous les points ou un autre choix de voisinage modifie la condition donnée.

Answer

Trouver $$\varepsilon>0$$ tel que $$[x-\varepsilon,x+\varepsilon[\subset U$$

Question 4

4. Un ensemble $F\subset\mathbb{R}$ a un complémentaire $\mathbb{R}\setminus F$ qui est ouvert. Quelle conclusion en découle pour $F$ ?

F

est à la fois ouvert et fermé

F

est fermé

F

est ouvert

\mathbb{R}\setminus F

est fermé

Explication

Par définition, $F$ est fermé lorsque son complémentaire dans $\mathbb{R}$ est ouvert. Le fait que le complémentaire soit ouvert ne signifie pas que $F$ soit ouvert, ni que le complémentaire soit fermé.

Answer

$$F$$ est fermé

Question 5

5. Une famille indexée par un ensemble infini d’ouverts de ℝ est réunie pour former une partie V. Quelle propriété peut-on garantir pour V ?

V est fermée seulement si la famille est finie.

V est fermée, quelle que soit la cardinalité de la famille.

V est ouverte, quelle que soit la cardinalité de la famille.

V est ouverte seulement si la famille est finie.

Explication

La réunion d’un nombre quelconque d’ouverts est ouverte, y compris lorsque la famille est infinie. L’intersection d’ouverts relève d’une autre règle, tandis que les restrictions portant sur les réunions de fermés ne s’appliquent pas ici.

Answer

V est ouverte, quelle que soit la cardinalité de la famille.

Question 6

6. On prend une famille infinie de fermés de ℝ et on en forme l’intersection. Quelle conclusion est garantie ?

L’intersection est ouverte, même si la famille est infinie.

L’intersection est ouverte seulement si la famille est finie.

L’intersection est fermée, même si la famille est infinie.

L’intersection est fermée seulement si la famille est finie.

Explication

L’intersection d’un nombre quelconque de fermés est fermée. La règle des réunions de fermés concerne une famille finie, et la stabilité des intersections d’ouverts ne détermine pas la nature de cette intersection.

Answer

L’intersection est fermée, même si la famille est infinie.

Question 7

7. Une suite de points d’une partie F converge vers un réel qui n’appartient pas à F. Que peut-on conclure de ce fait sur F ?

F est ouverte.

F est fermée.

F n’est pas fermée.

F est à la fois ouverte et fermée.

Explication

Toute suite convergente de points d’un fermé doit avoir sa limite dans ce fermé ; une limite située hors de F montre donc que F n’est pas fermée. Cette caractérisation concerne les limites de suites, pas la définition d’un ouvert.

Answer

F n’est pas fermée.

Question 8

8. Pour une fonction f de ℝ dans ℝ, on vérifie que l’image réciproque de chaque ouvert de ℝ est ouverte. Quelle propriété de f cette vérification établit-elle ?

f est continue.

f est surjective.

f est injective.

f est discontinue.

Explication

Une fonction de ℝ dans ℝ est continue si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert est ouverte. Le critère concerne les images réciproques de tous les ouverts ; il ne caractérise ni l’injectivité ni la surjectivité.

Answer

f est continue.

QCM : Prérequis de topologie réelle (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel positif fixé $a=0{,}4$ , quel encadrement la propriété d’Archimède garantit-il pour un certain entier naturel non nul $n$ ?

2. Une construction fournit des entiers naturels non nuls $n_1$ et $n_2$ tels que $\frac{1}{n_1}<a$ et $a<n_2$ . Quel choix d’entier permet de réunir ces deux inégalités dans un seul encadrement ?

3. Pour vérifier qu’un ensemble $U\subset\mathbb{R}$ est ouvert, on examine chaque $x\in U$ . Quelle condition locale faut-il pouvoir satisfaire ?

4. Un ensemble $F\subset\mathbb{R}$ a un complémentaire $\mathbb{R}\setminus F$ qui est ouvert. Quelle conclusion en découle pour $F$ ?

5. Une famille indexée par un ensemble infini d’ouverts de ℝ est réunie pour former une partie V. Quelle propriété peut-on garantir pour V ?

6. On prend une famille infinie de fermés de ℝ et on en forme l’intersection. Quelle conclusion est garantie ?

7. Une suite de points d’une partie F converge vers un réel qui n’appartient pas à F. Que peut-on conclure de ce fait sur F ?

8. Pour une fonction f de ℝ dans ℝ, on vérifie que l’image réciproque de chaque ouvert de ℝ est ouverte. Quelle propriété de f cette vérification établit-elle ?

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QCM : Prérequis de topologie réelle (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel positif fixé a=0,4a=0{,}4a=0,4, quel encadrement la propriété d’Archimède garantit-il pour un certain entier naturel non nul nnn ?

2. Une construction fournit des entiers naturels non nuls n1n_1n1​ et n2n_2n2​ tels que 1n1<a\frac{1}{n_1}<an1​1​<a et a<n2a<n_2a<n2​. Quel choix d’entier permet de réunir ces deux inégalités dans un seul encadrement ?

3. Pour vérifier qu’un ensemble U⊂RU\subset\mathbb{R}U⊂R est ouvert, on examine chaque x∈Ux\in Ux∈U. Quelle condition locale faut-il pouvoir satisfaire ?

4. Un ensemble F⊂RF\subset\mathbb{R}F⊂R a un complémentaire R∖F\mathbb{R}\setminus FR∖F qui est ouvert. Quelle conclusion en découle pour FFF ?

5. Une famille indexée par un ensemble infini d’ouverts de ℝ est réunie pour former une partie V. Quelle propriété peut-on garantir pour V ?

6. On prend une famille infinie de fermés de ℝ et on en forme l’intersection. Quelle conclusion est garantie ?

7. Une suite de points d’une partie F converge vers un réel qui n’appartient pas à F. Que peut-on conclure de ce fait sur F ?

8. Pour une fonction f de ℝ dans ℝ, on vérifie que l’image réciproque de chaque ouvert de ℝ est ouverte. Quelle propriété de f cette vérification établit-elle ?

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1. Pour un réel positif fixé $a=0{,}4$ , quel encadrement la propriété d’Archimède garantit-il pour un certain entier naturel non nul $n$ ?

2. Une construction fournit des entiers naturels non nuls $n_1$ et $n_2$ tels que $\frac{1}{n_1}<a$ et $a<n_2$ . Quel choix d’entier permet de réunir ces deux inégalités dans un seul encadrement ?

3. Pour vérifier qu’un ensemble $U\subset\mathbb{R}$ est ouvert, on examine chaque $x\in U$ . Quelle condition locale faut-il pouvoir satisfaire ?

4. Un ensemble $F\subset\mathbb{R}$ a un complémentaire $\mathbb{R}\setminus F$ qui est ouvert. Quelle conclusion en découle pour $F$ ?