Fiche de révision : Probabilités conditionnelles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et événements
2. Règles fondamentales des probabilités
3. Équiprobabilité et dénombrement
4. Représentations des données
5. Arbres pondérés et calculs
6. Probabilité conditionnelle
7. Indépendance des événements
8. Partitions et probabilités totales

📖 1. Ensembles et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers : Ensemble fini non vide des résultats possibles d’une expérience aléatoire et événement certain.
• Événement : Tout sous-ensemble A de l’univers Ω.
• Union : Événement constitué des résultats appartenant à A, à B ou aux deux.
• Événement contraire : L’événement contraire de A, noté Ā, contient les résultats de Ω qui n’appartiennent pas à A.
• Événement impossible : Ensemble vide.
• Événement élémentaire : Ensemble qui contient un seul résultat de l’univers Ω.
• Intersection : Événement constitué des résultats appartenant à la fois à A et à B.
• Événements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles, ou disjoints, lorsque A ∩ B = ∅.

📖 2. Règles fondamentales des probabilités

★ À maîtriser

• La probabilité de l’univers vaut 1, celle de l’ensemble vide vaut 0 et, pour tout événement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

📐 Formule - La probabilité de l’union de deux événements vérifie $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

📐 Formule - Pour tout événement A, $P(\overline A)=1-P(A)$.

Compléments

📌 Si A ⊆ B, alors P(A) ≤ P(B).

📐 Formule - Si A et B sont incompatibles, alors $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

📖 3. Équiprobabilité et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Probabilité sur Ω = {r₁, …, rₙ} qui attribue à chaque résultat élémentaire la probabilité 1/n.

★ À maîtriser

📐 Formule - En équiprobabilité, la probabilité d’un événement A vérifie $P(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}$.

Compléments

• L’équiprobabilité est aussi appelée probabilité équipartie ou probabilité de Laplace.

📖 4. Représentations des données

★ À maîtriser

📌 Pour calculer une probabilité à partir d’un tableau, il faut identifier l’univers pertinent, qui peut se limiter à une ligne ou à une colonne.

Compléments

• Un tableau est utile pour organiser des effectifs croisant des catégories différentes dont les conditions s’excluent mutuellement.

• Un diagramme de Venn peut représenter des effectifs portant sur des catégories dont les conditions ne s’excluent pas forcément.

📖 5. Arbres pondérés et calculs

★ À maîtriser

📌 La probabilité associée à un chemin complet de la racine à une feuille est le produit des probabilités inscrites sur ses arêtes.

📌 La probabilité associée à plusieurs chemins complets aboutissant à des feuilles est la somme des probabilités de ces chemins.

Compléments

• Un arbre pondéré est utile pour représenter des proportions impliquant plusieurs types de conditions et de sous-conditions, vérifiées ou non.

📌 Pour construire un arbre pondéré, on commence par inscrire les conditions dont les informations ne dépendent d’aucune autre condition.

💡 Astuce mémo

Sur un chemin, on multiplie ; entre plusieurs chemins, on additionne.

📖 6. Probabilité conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si P(B) ≠ 0, la probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par $P_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

📝 Points essentiels

• Dans P_B(A), B est l’événement supposé réalisé et A est l’événement étudié dans le nouvel univers B.

📖 7. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants lorsque $P(A \cap B)=P(A)P(B)$.

📝 Points essentiels

• La formule P(A ∩ B) = P(A)P(B) ne requiert pas que P(B) soit non nul.

💡 Astuce mémo

Incompatibles : intersection vide ; indépendants : produit des probabilités.

📖 8. Partitions et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition : Famille d’au moins deux événements non vides, deux à deux disjoints, dont la réunion est Ω.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une partition A₁, …, Aₖ de Ω et tout événement B, $P(B)=\sum_{i=1}^{k}P(B \cap A_i)$.

📐 Formule - Si A₁, …, Aₖ partitionnent Ω et si P(Aᵢ) ≠ 0 pour tout i, alors $P(B)=\sum_{i=1}^{k}P_{A_i}(B)P(A_i)$ pour tout événement B.

Compléments

• Un événement A et son contraire forment une partition de Ω si et seulement si A ≠ ∅ et A ≠ Ω.