Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et arbres

📋 Plan du Cours

1. Définition et calcul conditionnels
2. Propriétés des probabilités conditionnelles
3. Construction des arbres pondérés
4. Calculs sur un arbre de probabilités
5. Indépendance de deux événements

📖 1. Définition et calcul conditionnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité de B lorsque l’univers est restreint aux issues où A est réalisé.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux événements A et B tels que P(A) est non nulle, $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

• Pour cette classe, la probabilité qu’un élève soit fort en mathématiques sachant qu’il est fort en français vaut P(M sachant F)=(7/30)/(2/5)=7/12.

Compléments

• Dans une classe de 30 élèves, 10 sont forts en mathématiques, 12 en français et 7 dans les deux disciplines ; ainsi, P(M)=1/3, P(F)=2/5 et P(M∩F)=7/30.

💡 Astuce mémo

M parmi toute la classe ; M sachant F parmi les seuls élèves forts en français

📖 2. Propriétés des probabilités conditionnelles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux événements A et B, $P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)$ lorsque P(A) est non nulle.

Compléments

📌 Si P(A) est non nulle, alors la probabilité conditionnelle P(B sachant A) est comprise entre 0 et 1.

📐 Formule - Pour deux événements contraires B et B̄ et lorsque P(A) est non nulle, $P(\overline{B}\mid A)=1-P(B\mid A)$.

📖 3. Construction des arbres pondérés

★ À maîtriser

📌 Pour construire un arbre pondéré, on choisit en premier le critère dont la probabilité directe est donnée, puis on place au niveau suivant les probabilités conditionnelles adaptées à chaque branche.

Compléments

• Un arbre de probabilité à deux niveaux peut placer en premier le critère rouge/noir, puis le critère gagnante/perdante, ou placer ces critères dans l’ordre inverse ; les deux représentations sont valides.

• Dans l’exemple de l’urne, 40 % des boules sont rouges, donc 60 % sont noires.

• Parmi les boules rouges de l’exemple, 75 % sont gagnantes.

• Dans l’exemple de l’urne, 25 % des boules sont à la fois noires et gagnantes.

📖 4. Calculs sur un arbre de probabilités

📝 Points essentiels

📌 La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud d’un arbre est égale à 1.

📌 La probabilité associée à l’extrémité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin.

📐 Formule - Pour deux événements A et B, $P(A \cap B)=P(A)\times P(B\mid A)$.

📐 Formule - La probabilité d’un événement associé à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins ; dans l’exemple, $P(G)=P(G \cap R)+P(G \cap \overline{R})=0{,}3+0{,}25=0{,}55$.

📖 5. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B)=P(A)\times P(B)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si A et B sont indépendants, alors $P(B\mid A)=P(B)$ et $P(A\mid B)=P(A)$.

• L’indépendance de A et B n’implique pas que leur intersection soit vide.

• Si A et B sont indépendants, alors A et le contraire de B, le contraire de A et B, ainsi que les contraires de A et de B sont également indépendants.

💡 Astuce mémo

Indépendance : la condition ne change pas la probabilité.