QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (9 questions)

Question 1

1. Lorsqu’on calcule la probabilité de B sachant qu'A est réalisé, quel univers considère-t-on ?

Les issues où B est réalisé

Les issues où A et B sont réalisés

Les issues où A n’est pas réalisé

Les issues où A est réalisé

Explication

La condition A restreint l’univers aux issues où A est réalisé. L’intersection A et B correspond aux issues favorables, pas à tout l’univers restreint; les issues de B seules ou de non-A ne respectent pas cette condition.

Answer

Les issues où A est réalisé

Question 2

2. On sait que $P(A)=0{,}4$ et que $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la valeur de $P(B\mid A)$ ?

3{,}33

0{,}3

0{,}048

0{,}12

Explication

La définition donne $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , donc $0{,}12\div 0{,}4=0{,}3$ . $0{,}12$ omet la division, $3{,}33$ inverse le rapport et $0{,}048$ multiplie les probabilités.

Answer

$$0{,}15$$

Answer

$$0{,}32$$

Answer

On choisit le critère dont la probabilité directe est donnée.

Answer

$$0{,}25$$, soit 25 %

Answer

Elle permet d’affirmer que la probabilité de $$B$$ sachant $$A$$ reste égale à la probabilité de $$B$$.

Answer

La première se calcule parmi les issues où $$A$$ est réalisé, tandis que la seconde concerne l’ensemble de l’univers.

Answer

Elle augmente, car $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)$$.

Question 3

3. Dans une expérience, $P(A)=0{,}6$ et $P(B\mid A)=0{,}25$ . Quelle est la probabilité qu'A et B se réalisent tous les deux ?

0{,}85

2{,}4

0{,}15

0{,}25

Explication

La règle de multiplication donne $P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)=0{,}6\times 0{,}25=0{,}15$ . $0{,}85$ provient d’une addition, $2{,}4$ d’une division inversée et $0{,}25$ oublie le facteur $P(A)$ .

Question 4

4. Sachant que $P(B\mid A)=0{,}68$ , quelle est la probabilité conditionnelle de l’événement contraire de B sachant A ?

0{,}32

0{,}68

\frac{1}{0{,}68}

-0{,}68

Explication

Les événements B et son contraire ont, sous la même condition A, des probabilités complémentaires : $P(\overline{B}\mid A)=1-P(B\mid A)=1-0{,}68=0{,}32$ . $0{,}68$ reprend la probabilité de B, tandis que les autres valeurs ne correspondent pas à un complément.

Question 5

5. Lorsqu’on construit un arbre pondéré, comment choisit-on le critère placé au premier niveau ?

On choisit le critère dont les probabilités conditionnelles sont données.

On choisit le critère dont la probabilité conjointe est la plus élevée.

On choisit le critère dont la probabilité directe est donnée.

On choisit le critère qui possède le plus grand nombre d’issues.

Explication

Le critère placé en premier est celui dont la probabilité directe est connue ; les probabilités conditionnelles adaptées sont ensuite inscrites sur les branches suivantes. Placer d’abord le critère dont les probabilités conditionnelles sont données inverse la règle de construction.

Question 6

6. Dans l’exemple de l’urne, quelle probabilité est associée au chemin correspondant à une boule noire et gagnante ?

0{,}55

, soit 55 %

0{,}40

, soit 40 %

0{,}75

, soit 75 %

0{,}25

, soit 25 %

Explication

La probabilité du chemin « noire et gagnante » est donnée comme étant $0{,}25$ . La valeur $0{,}40$ correspond à la proportion de boules rouges, et non à ce chemin.

Question 7

7. Quel est le rôle de la condition $A$ dans la relation entre l’indépendance de $A$ et $B$ et la probabilité de $B$ ?

Elle permet de conclure que

A

et

B

ne peuvent pas se réaliser ensemble.

Elle permet d’affirmer que la probabilité de

B

sachant

A

reste égale à la probabilité de

B

.

Elle permet d’affirmer que la probabilité de

A

est égale à celle de

B

.

Elle permet de remplacer la probabilité de

B

par celle de son événement contraire.

Explication

L’indépendance signifie que la réalisation de $A$ ne modifie pas la probabilité de $B$ , donc $P(B\mid A)=P(B)$ . En revanche, l’indépendance n’empêche pas les deux événements de se réaliser ensemble.

Question 8

8. Quelle différence distingue la probabilité de $B$ sachant $A$ de la probabilité de $B$ ?

La première compare les issues où

A

est réalisé à celles où il ne l’est pas, tandis que la seconde concerne l’événement

B

seul.

La première se calcule parmi les issues où

A

est réalisé, tandis que la seconde concerne l’ensemble de l’univers.

La première concerne l’ensemble de l’univers, tandis que la seconde se calcule parmi les issues où

A

est réalisé.

La première mesure la réalisation simultanée de

A

et

B

, tandis que la seconde mesure celle de

A

seul.

Explication

La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ restreint l’univers aux issues où $A$ est réalisé, alors que $P(B)$ se rapporte à l’univers entier. La probabilité de l’intersection mesure la réalisation conjointe de $A$ et $B$ , et non la probabilité de $B$ dans cet univers restreint.

Question 9

9. Si la probabilité de $A$ est non nulle, comment la probabilité de $A\cap B$ varie-t-elle lorsque $P(B\mid A)$ augmente tandis que $P(A)$ reste fixe ?

Elle augmente, car

P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)

.

Elle reste constante, car elle dépend uniquement de

P(A)

.

Elle devient égale à

P(B\mid A)

, indépendamment de

P(A)

.

Elle diminue, car

P(A\cap B)=P(A)\times (1-P(B\mid A))

.

Explication

Comme $P(A\cap B)$ est le produit de $P(A)$ par $P(B\mid A)$ , une hausse de la probabilité conditionnelle accroît l’intersection si $P(A)$ reste fixe. La formule avec $1-P(B\mid A)$ concerne l’intersection avec le contraire de $B$ , et non avec $B$ .

QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lorsqu’on calcule la probabilité de B sachant qu'A est réalisé, quel univers considère-t-on ?

2. On sait que $P(A)=0{,}4$ et que $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la valeur de $P(B\mid A)$ ?

3. Dans une expérience, $P(A)=0{,}6$ et $P(B\mid A)=0{,}25$ . Quelle est la probabilité qu'A et B se réalisent tous les deux ?

4. Sachant que $P(B\mid A)=0{,}68$ , quelle est la probabilité conditionnelle de l’événement contraire de B sachant A ?

5. Lorsqu’on construit un arbre pondéré, comment choisit-on le critère placé au premier niveau ?

6. Dans l’exemple de l’urne, quelle probabilité est associée au chemin correspondant à une boule noire et gagnante ?

7. Quel est le rôle de la condition $A$ dans la relation entre l’indépendance de $A$ et $B$ et la probabilité de $B$ ?

8. Quelle différence distingue la probabilité de $B$ sachant $A$ de la probabilité de $B$ ?

9. Si la probabilité de $A$ est non nulle, comment la probabilité de $A\cap B$ varie-t-elle lorsque $P(B\mid A)$ augmente tandis que $P(A)$ reste fixe ?

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QCM : Probabilités conditionnelles et arbres (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lorsqu’on calcule la probabilité de B sachant qu'A est réalisé, quel univers considère-t-on ?

2. On sait que P(A)=0,4P(A)=0{,}4P(A)=0,4 et que P(A∩B)=0,12P(A\cap B)=0{,}12P(A∩B)=0,12. Quelle est la valeur de P(B∣A)P(B\mid A)P(B∣A) ?

3. Dans une expérience, P(A)=0,6P(A)=0{,}6P(A)=0,6 et P(B∣A)=0,25P(B\mid A)=0{,}25P(B∣A)=0,25. Quelle est la probabilité qu'A et B se réalisent tous les deux ?

4. Sachant que P(B∣A)=0,68P(B\mid A)=0{,}68P(B∣A)=0,68, quelle est la probabilité conditionnelle de l’événement contraire de B sachant A ?

5. Lorsqu’on construit un arbre pondéré, comment choisit-on le critère placé au premier niveau ?

6. Dans l’exemple de l’urne, quelle probabilité est associée au chemin correspondant à une boule noire et gagnante ?

7. Quel est le rôle de la condition AAA dans la relation entre l’indépendance de AAA et BBB et la probabilité de BBB ?

8. Quelle différence distingue la probabilité de BBB sachant AAA de la probabilité de BBB ?

9. Si la probabilité de AAA est non nulle, comment la probabilité de A∩BA\cap BA∩B varie-t-elle lorsque P(B∣A)P(B\mid A)P(B∣A) augmente tandis que P(A)P(A)P(A) reste fixe ?

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2. On sait que $P(A)=0{,}4$ et que $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la valeur de $P(B\mid A)$ ?

3. Dans une expérience, $P(A)=0{,}6$ et $P(B\mid A)=0{,}25$ . Quelle est la probabilité qu'A et B se réalisent tous les deux ?

4. Sachant que $P(B\mid A)=0{,}68$ , quelle est la probabilité conditionnelle de l’événement contraire de B sachant A ?

7. Quel est le rôle de la condition $A$ dans la relation entre l’indépendance de $A$ et $B$ et la probabilité de $B$ ?

8. Quelle différence distingue la probabilité de $B$ sachant $A$ de la probabilité de $B$ ?

9. Si la probabilité de $A$ est non nulle, comment la probabilité de $A\cap B$ varie-t-elle lorsque $P(B\mid A)$ augmente tandis que $P(A)$ reste fixe ?