Fiche de révision : Probabilités et arbres pondérés

📋 Plan du Cours

1. Univers et événements complémentaires
2. Intersection et réunion d’événements
3. Règles des arbres pondérés
4. Conditionnement et formule de Bayes
5. Partitions et probabilités totales
6. Écritures numériques des probabilités
7. Indépendance des événements
8. Répétitions et nombre de succès

📖 1. Univers et événements complémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers : Ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement : Partie de l’univers Ω, que l’on peut décrire par une phrase ou par extension entre accolades.
• Événement contraire : L’événement contraire de A contient les issues de Ω qui n’appartiennent pas à A.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La probabilité de l’événement contraire de A vérifie $P(\overline{A})=1-P(A)$.

💡 Astuce mémo

L’univers contient toutes les issues ; l’événement en sélectionne certaines.

📖 2. Intersection et réunion d’événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Événement constitué des issues qui réalisent à la fois A et B.
• Réunion : Événement constitué des issues qui réalisent A, B ou les deux simultanément.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux événements A et B, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque A et B sont incompatibles, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

📌 Deux événements A et B sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément, ce qui équivaut à A∩B=∅ et entraîne P(A∩B)=0.

💡 Astuce mémo

Intersection = ET ; réunion = OU.

📖 3. Règles des arbres pondérés

★ À maîtriser

• Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

• La probabilité d’une issue au bout d’un chemin complet est le produit des probabilités des branches rencontrées sur ce chemin.

• Si un événement est réalisé par plusieurs chemins distincts, sa probabilité est la somme des probabilités de ces chemins.

Compléments

• Dans un arbre construit de gauche à droite, le premier niveau porte les probabilités simples, le deuxième les probabilités conditionnelles et les extrémités les probabilités d’intersections.

💡 Astuce mémo

NPS : Nœuds (somme à 1), Produit des chemins, Somme des chemins favorables.

📖 4. Conditionnement et formule de Bayes

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Si P(A)≠0, probabilité de B sachant A définie par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La règle du produit donne $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

📐 Formule - La formule de Bayes donne, si P(B)≠0, $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P_A(B)}{P(B)}$.

Compléments

📌 La probabilité conditionnelle P_A(B) suit le sens direct de l’arbre, tandis que P_B(A) correspond à une lecture inverse calculée en divisant le chemin ciblé par P(B).

💡 Astuce mémo

Le conditionnement direct suit l’arbre ; Bayes remonte le courant.

📖 5. Partitions et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Des événements A₁,…,Aₙ forment une partition de Ω s’ils sont deux à deux disjoints et si leur réunion est Ω.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A₁,…,Aₙ forment une partition de Ω, alors pour tout événement B, $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i\cap B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\times P_{A_i}(B)$.

Compléments

📐 Formule - Dans le cas d’une partition formée par A et son contraire, $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$.

• Sur un arbre, la probabilité globale d’un événement final s’obtient en additionnant les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à cet événement.

💡 Astuce mémo

Partition de l’univers → décomposition de B en chemins disjoints → somme de leurs probabilités.

📖 6. Écritures numériques des probabilités

★ À maîtriser

• Une même probabilité peut s’écrire sous forme fractionnaire, décimale ou en pourcentage.

Compléments

• La fraction 3/5 correspond à 0,6, soit 60 %.

📖 7. Indépendance des événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Événements dont la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de réalisation de l’autre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si P(A)≠0, l’indépendance de A et B se traduit par $P_A(B)=P(B)$.

Compléments

📐 Formule - Si P(B)≠0, l’indépendance de A et B se traduit aussi par $P_B(A)=P(A)$.

• Pour des épreuves répétées indépendamment, le résultat de la première épreuve ne modifie pas les probabilités de la seconde.

📖 8. Répétitions et nombre de succès

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité d’obtenir au moins un succès vérifie $P(\text{au moins un succès})=1-P(\text{aucun succès})$.

• Pour n épreuves indépendantes dont la probabilité d’échec est P(E), la probabilité d’obtenir au moins un succès est $1-[P(E)]^n$.

• Pour calculer la probabilité d’un nombre donné de succès lors de n épreuves identiques et indépendantes, on calcule la probabilité d’un chemin favorable, on dénombre les chemins identiques favorables, puis on multiplie ces deux valeurs.

Compléments

• Pour n épreuves répétées, l’arbre possède 2ⁿ branches finales.

📌 L’événement « obtenir au moins un succès » est le contraire de l’événement « obtenir aucun succès ».

💡 Astuce mémo

Épreuves indépendantes répétées → probabilité d’au moins un succès obtenue par le contraire.