QCM : Probabilités et arbres pondérés (18 questions)

Question 1

1. On lance un dé équilibré à six faces. Quel ensemble représente l’univers de cette expérience ?

L’ensemble des nombres entiers compris entre zéro et six

L’ensemble des six résultats possibles du lancer

L’ensemble des cinq résultats non retenus à l’avance

L’ensemble des résultats donnant un nombre pair

Explication

L’univers rassemble toutes les issues possibles de l’expérience, ici les six faces du dé. L’ensemble des nombres pairs décrit un événement particulier, tandis que les autres choix omettent ou ajoutent des issues.

Answer

L’ensemble des six résultats possibles du lancer

Question 2

2. Dans un tirage, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et $A=\{2,4,6\}$ désigne l’obtention d’un nombre pair. Quelles issues constituent l’événement contraire de $A$ ?

\{1,3\}

\{2,4,6\}

\{1,2,3,5\}

\{1,3,5\}

Explication

L’événement contraire contient les issues de l’univers qui ne sont pas dans $A$ , donc les nombres impairs $\{1,3,5\}$ . $\{2,4,6\}$ reprend $A$ , tandis que les autres ensembles omettent une issue ou incluent une issue paire.

Answer

$$\{1,3,5\}$$

Question 3

3. Une carte est tirée dans un jeu. L’événement $A$ signifie « la carte est rouge » et $B$ « la carte est un roi ». Que représente $A\cap B$ ?

Obtenir un roi rouge

Obtenir une carte rouge ou un roi

Obtenir un roi

Obtenir une carte rouge

Explication

L’intersection regroupe les issues qui réalisent à la fois $A$ et $B$ : il faut donc obtenir un roi rouge. La réunion accepte l’une ou l’autre condition, tandis que les deux autres choix ne considèrent qu’une seule condition.

Answer

Obtenir un roi rouge

Question 4

4. Deux événements vérifient $P(A)=0{,}45$ , $P(B)=0{,}30$ et $P(A\cap B)=0{,}10$ . Quelle est la probabilité de leur réunion ?

0{,}75

0{,}65

0{,}15

0{,}55

Explication

La formule de la réunion donne $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}45+0{,}30-0{,}10=0{,}65$ . $0{,}75$ oublie le chevauchement, $0{,}55$ le soustrait deux fois et $0{,}15$ résulte d’une soustraction inadaptée.

Answer

$$0{,}65$$

Question 5

5. Dans une expérience, $A$ signifie « obtenir un résultat inférieur à 4 » et $B$ « obtenir un résultat pair ». Que représente $A\cup B$ ?

Réaliser A, B ou les deux

Réaliser A sans réaliser B

Réaliser B sans réaliser A

Réaliser à la fois A et B

Explication

La réunion contient les issues qui réalisent $A$ , $B$ ou les deux simultanément. Exiger les deux conditions correspond à l’intersection; les autres choix excluent à tort l’un des événements.

Answer

Réaliser A, B ou les deux

Question 6

6. À un nœud d’un arbre, la branche « succès » porte une probabilité de $0{,}37$ . Quelle probabilité doit porter la branche complémentaire issue du même nœud ?

0{,}1369

-0{,}37

0{,}63

0{,}37

Explication

Les probabilités des branches issues d’un même nœud ont pour somme $1$ , donc la branche complémentaire vaut $1-0{,}37=0{,}63$ . Reprendre $0{,}37$ confond les branches complémentaires, $-0{,}37$ inverse la soustraction et $0{,}1369$ applique un produit.

Answer

$$0{,}63$$

Question 7

7. Dans un arbre, un chemin complet comporte trois branches de probabilités $0{,}5$ , $0{,}4$ et $0{,}2$ . Quelle est la probabilité de l’issue située au bout de ce chemin ?

0{,}0133

0{,}04

0{,}2

1{,}1

Explication

La probabilité d’une issue au bout d’un chemin complet est le produit des probabilités rencontrées : $0{,}5\times0{,}4\times0{,}2=0{,}04$ . $1{,}1$ provient d’une addition, $0{,}2$ omet une branche et $0{,}0133$ divise à tort par le nombre de branches.

Answer

$$0{,}04$$

Question 8

8. Un événement peut être atteint par deux chemins distincts, dont les probabilités sont $0{,}18$ et $0{,}27$ . Quelle est la probabilité de cet événement ?

0{,}0486

0{,}27

0{,}09

0{,}45

Explication

Lorsque plusieurs chemins distincts réalisent un événement, sa probabilité est la somme des probabilités de ces chemins : $0{,}18+0{,}27=0{,}45$ . $0{,}0486$ multiplie les chemins, $0{,}27$ en néglige un et $0{,}09$ calcule leur différence.

Answer

$$0{,}45$$

Question 9

9. Dans une expérience, $P(A)=0{,}6$ et $P_A(B)=0{,}25$ . Quelle est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent tous deux ?

0{,}85

P_B(A)

0{,}15

2{,}4

Explication

La règle du produit donne $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}6\times0{,}25=0{,}15$ . $0{,}85$ additionne les valeurs, $2{,}4$ les divise dans le mauvais sens, et $P_B(A)$ désigne une conditionnelle inverse.

Answer

$$0{,}15$$

Question 10

10. On sait que $P(A)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ ?

\frac{0{,}12}{P(B)}

\frac{0{,}4}{0{,}12}

0{,}12

0{,}3

Explication

Par définition, $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3$ , avec $P(A)\ne0$ . Diviser par $P(B)$ correspond à la conditionnelle inverse, $\frac{0{,}4}{0{,}12}$ inverse le rapport et $0{,}12$ est l’intersection.

Answer

Diviser $$P(A\cap B)$$ par $$P(B)$$

Answer

Ils sont deux à deux disjoints et leur réunion est l’univers.

Answer

$$0{,}31$$

Answer

$$0{,}6$$, soit $$60\,\%$$

Answer

La réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre

Answer

L’événement « aucun succès »

Answer

$$1-(0{,}2)^4$$

Question 11

11. Dans un arbre, une analyste connaît la probabilité du chemin $A\cap B$ et la probabilité totale $P(B)$ . Pour déterminer la probabilité d’origine $A$ sachant que $B$ est réalisé, quelle opération doit-elle effectuer ?

Multiplier

P(A\cap B)

par

P(B)

Diviser

P(A\cap B)

par

P(B)

Diviser

P(A\cap B)

par

P(A)

Lire

P_A(B)

sur la branche issue de A

Explication

La lecture inverse correspond à $P_B(A)$ : on divise le chemin ciblé $P(A\cap B)$ par la probabilité totale des arrivées $P(B)$ . Lire $P_A(B)$ suit le sens direct, tandis que diviser par $P(A)$ calcule cette conditionnelle directe; multiplier par $P(B)$ n’est pas la règle de Bayes.

Question 12

12. Dans une expérience dont les issues sont réparties entre trois événements $C$ , $D$ et $E$ , quelle condition garantit que ces événements forment une partition de l’univers ?

Ils sont deux à deux disjoints et leur réunion est l’univers.

Ils sont deux à deux disjoints, mais leur réunion peut laisser des issues de côté.

Ils sont indépendants et leur réunion est l’univers.

Ils ont la même probabilité et leur réunion est l’univers.

Explication

Une partition exige à la fois l’absence d’intersections entre événements distincts et une réunion égale à tout l’univers. Une réunion incomplète ne couvre pas toutes les issues, l’indépendance ne remplace pas la disjonction, et l’égalité des probabilités n’est pas requise.

Question 13

13. Trois événements $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ forment une partition, avec $P(A_1)=0{,}2$ , $P(A_2)=0{,}5$ , $P(A_3)=0{,}3$ et $P_{A_1}(B)=0{,}4$ , $P_{A_2}(B)=0{,}1$ , $P_{A_3}(B)=0{,}6$ . Quelle est la probabilité de $B$ ?

0{,}33

0{,}31

0{,}006

1{,}10

Explication

La formule des probabilités totales donne $P(B)=\sum_i P(A_i)P_{A_i}(B)$ , soit $0{,}2\times0{,}4+0{,}5\times0{,}1+0{,}3\times0{,}6=0{,}31$ . La valeur $1{,}10$ oublie la pondération, $0{,}33$ utilise des poids complémentaires et $0{,}006$ multiplie les contributions.

Question 14

14. Une enquête indique une probabilité égale à $\frac{3}{5}$ . Quelle valeur décimale et quel pourcentage lui correspondent ?

0{,}5

, soit

50\,\%

0{,}06

, soit

6\,\%

0{,}3

, soit

30\,\%

0{,}6

, soit

60\,\%

Explication

La division de 3 par 5 donne $0{,}6$ , et la conversion en pourcentage donne $0{,}6\times100=60\,\%$ . $0{,}06$ résulte d’un décalage de virgule erroné, $50\,\%$ confond le dénominateur avec le pourcentage et $0{,}3$ omet la division par 5.

Question 15

15. Une équipe constate que connaître le résultat d’un premier événement ne change pas la probabilité qu’un second se réalise. Quelle relation décrit cette situation ?

Les deux événements correspondent aux mêmes issues

Les deux événements ne peuvent pas se réaliser ensemble

La réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre

Les deux événements se réalisent au même moment

Explication

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l’autre. L’incompatibilité signifie qu’ils ne peuvent pas se produire ensemble, tandis que la simultanéité et l’égalité des issues sont des notions différentes.

Question 16

16. On sait que $P(A)=0{,}4$ et que $P(B)=0{,}3$ . Si A et B sont indépendants, quelle est la valeur de la probabilité de B sachant A ?

0{,}12

0{,}3

0{,}7

0{,}4

Explication

Pour des événements indépendants, la probabilité de B sachant A est égale à la probabilité de B, soit $0{,}3$ . $0{,}4$ reprend la probabilité de A, $0{,}12$ correspond au produit des probabilités et $0{,}7$ à leur somme.

Question 17

17. Pour éviter de sommer les nombreux chemins correspondant à au moins un succès lors d’épreuves répétées, quel événement complémentaire faut-il considérer ?

L’événement « au moins deux succès »

L’événement « au plus un succès »

L’événement « exactement un succès »

L’événement « aucun succès »

Explication

L’événement contraire d’obtenir au moins un succès est d’obtenir aucun succès, ce qui permet de calculer la probabilité recherchée par complémentarité. « Exactement un succès » et « au moins deux succès » sont des événements distincts, et « au plus un succès » inclut aussi un succès.

Question 18

18. Un dispositif indépendant échoue avec une probabilité de $0{,}2$ à chaque essai. Il est utilisé quatre fois. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir au moins un succès ?

(0{,}2)^4

1-(0{,}2)^4

1-(0{,}8)^4

1-4(0{,}2)

Explication

La probabilité d’aucun succès est celle de quatre échecs indépendants, soit $(0{,}2)^4$ ; on la soustrait à 1 pour obtenir la probabilité d’au moins un succès. L’expression $(0{,}2)^4$ donne directement la probabilité d’aucun succès, tandis que $(0{,}8)^4$ utilise la probabilité de succès dans la puissance.

QCM : Probabilités et arbres pondérés (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On lance un dé équilibré à six faces. Quel ensemble représente l’univers de cette expérience ?

2. Dans un tirage, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et $A=\{2,4,6\}$ désigne l’obtention d’un nombre pair. Quelles issues constituent l’événement contraire de $A$ ?

3. Une carte est tirée dans un jeu. L’événement $A$ signifie « la carte est rouge » et $B$ « la carte est un roi ». Que représente $A\cap B$ ?

4. Deux événements vérifient $P(A)=0{,}45$ , $P(B)=0{,}30$ et $P(A\cap B)=0{,}10$ . Quelle est la probabilité de leur réunion ?

5. Dans une expérience, $A$ signifie « obtenir un résultat inférieur à 4 » et $B$ « obtenir un résultat pair ». Que représente $A\cup B$ ?

6. À un nœud d’un arbre, la branche « succès » porte une probabilité de $0{,}37$ . Quelle probabilité doit porter la branche complémentaire issue du même nœud ?

7. Dans un arbre, un chemin complet comporte trois branches de probabilités $0{,}5$ , $0{,}4$ et $0{,}2$ . Quelle est la probabilité de l’issue située au bout de ce chemin ?

8. Un événement peut être atteint par deux chemins distincts, dont les probabilités sont $0{,}18$ et $0{,}27$ . Quelle est la probabilité de cet événement ?

9. Dans une expérience, $P(A)=0{,}6$ et $P_A(B)=0{,}25$ . Quelle est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent tous deux ?

10. On sait que $P(A)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ ?

11. Dans un arbre, une analyste connaît la probabilité du chemin $A\cap B$ et la probabilité totale $P(B)$ . Pour déterminer la probabilité d’origine $A$ sachant que $B$ est réalisé, quelle opération doit-elle effectuer ?

12. Dans une expérience dont les issues sont réparties entre trois événements $C$ , $D$ et $E$ , quelle condition garantit que ces événements forment une partition de l’univers ?

13. Trois événements $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ forment une partition, avec $P(A_1)=0{,}2$ , $P(A_2)=0{,}5$ , $P(A_3)=0{,}3$ et $P_{A_1}(B)=0{,}4$ , $P_{A_2}(B)=0{,}1$ , $P_{A_3}(B)=0{,}6$ . Quelle est la probabilité de $B$ ?

14. Une enquête indique une probabilité égale à $\frac{3}{5}$ . Quelle valeur décimale et quel pourcentage lui correspondent ?

15. Une équipe constate que connaître le résultat d’un premier événement ne change pas la probabilité qu’un second se réalise. Quelle relation décrit cette situation ?

16. On sait que $P(A)=0{,}4$ et que $P(B)=0{,}3$ . Si A et B sont indépendants, quelle est la valeur de la probabilité de B sachant A ?

17. Pour éviter de sommer les nombreux chemins correspondant à au moins un succès lors d’épreuves répétées, quel événement complémentaire faut-il considérer ?

18. Un dispositif indépendant échoue avec une probabilité de $0{,}2$ à chaque essai. Il est utilisé quatre fois. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir au moins un succès ?

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QCM : Probabilités et arbres pondérés (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On lance un dé équilibré à six faces. Quel ensemble représente l’univers de cette expérience ?

2. Dans un tirage, Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}Ω={1,2,3,4,5,6} et A={2,4,6}A=\{2,4,6\}A={2,4,6} désigne l’obtention d’un nombre pair. Quelles issues constituent l’événement contraire de AAA ?

3. Une carte est tirée dans un jeu. L’événement AAA signifie « la carte est rouge » et BBB « la carte est un roi ». Que représente A∩BA\cap BA∩B ?

4. Deux événements vérifient P(A)=0,45P(A)=0{,}45P(A)=0,45, P(B)=0,30P(B)=0{,}30P(B)=0,30 et P(A∩B)=0,10P(A\cap B)=0{,}10P(A∩B)=0,10. Quelle est la probabilité de leur réunion ?

5. Dans une expérience, AAA signifie « obtenir un résultat inférieur à 4 » et BBB « obtenir un résultat pair ». Que représente A∪BA\cup BA∪B ?

6. À un nœud d’un arbre, la branche « succès » porte une probabilité de 0,370{,}370,37. Quelle probabilité doit porter la branche complémentaire issue du même nœud ?

7. Dans un arbre, un chemin complet comporte trois branches de probabilités 0,50{,}50,5, 0,40{,}40,4 et 0,20{,}20,2. Quelle est la probabilité de l’issue située au bout de ce chemin ?

8. Un événement peut être atteint par deux chemins distincts, dont les probabilités sont 0,180{,}180,18 et 0,270{,}270,27. Quelle est la probabilité de cet événement ?

9. Dans une expérience, P(A)=0,6P(A)=0{,}6P(A)=0,6 et PA(B)=0,25P_A(B)=0{,}25PA​(B)=0,25. Quelle est la probabilité que AAA et BBB se réalisent tous deux ?

10. On sait que P(A)=0,4P(A)=0{,}4P(A)=0,4 et P(A∩B)=0,12P(A\cap B)=0{,}12P(A∩B)=0,12. Quelle est la probabilité conditionnelle de BBB sachant AAA ?

11. Dans un arbre, une analyste connaît la probabilité du chemin A∩BA\cap BA∩B et la probabilité totale P(B)P(B)P(B). Pour déterminer la probabilité d’origine AAA sachant que BBB est réalisé, quelle opération doit-elle effectuer ?

12. Dans une expérience dont les issues sont réparties entre trois événements CCC, DDD et EEE, quelle condition garantit que ces événements forment une partition de l’univers ?

14. Une enquête indique une probabilité égale à 35\frac{3}{5}53​. Quelle valeur décimale et quel pourcentage lui correspondent ?

15. Une équipe constate que connaître le résultat d’un premier événement ne change pas la probabilité qu’un second se réalise. Quelle relation décrit cette situation ?

16. On sait que P(A)=0,4P(A)=0{,}4P(A)=0,4 et que P(B)=0,3P(B)=0{,}3P(B)=0,3. Si A et B sont indépendants, quelle est la valeur de la probabilité de B sachant A ?

17. Pour éviter de sommer les nombreux chemins correspondant à au moins un succès lors d’épreuves répétées, quel événement complémentaire faut-il considérer ?

18. Un dispositif indépendant échoue avec une probabilité de 0,20{,}20,2 à chaque essai. Il est utilisé quatre fois. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir au moins un succès ?

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2. Dans un tirage, $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ et $A=\{2,4,6\}$ désigne l’obtention d’un nombre pair. Quelles issues constituent l’événement contraire de $A$ ?

3. Une carte est tirée dans un jeu. L’événement $A$ signifie « la carte est rouge » et $B$ « la carte est un roi ». Que représente $A\cap B$ ?

4. Deux événements vérifient $P(A)=0{,}45$ , $P(B)=0{,}30$ et $P(A\cap B)=0{,}10$ . Quelle est la probabilité de leur réunion ?

5. Dans une expérience, $A$ signifie « obtenir un résultat inférieur à 4 » et $B$ « obtenir un résultat pair ». Que représente $A\cup B$ ?

6. À un nœud d’un arbre, la branche « succès » porte une probabilité de $0{,}37$ . Quelle probabilité doit porter la branche complémentaire issue du même nœud ?

7. Dans un arbre, un chemin complet comporte trois branches de probabilités $0{,}5$ , $0{,}4$ et $0{,}2$ . Quelle est la probabilité de l’issue située au bout de ce chemin ?

8. Un événement peut être atteint par deux chemins distincts, dont les probabilités sont $0{,}18$ et $0{,}27$ . Quelle est la probabilité de cet événement ?

9. Dans une expérience, $P(A)=0{,}6$ et $P_A(B)=0{,}25$ . Quelle est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent tous deux ?

10. On sait que $P(A)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ ?

11. Dans un arbre, une analyste connaît la probabilité du chemin $A\cap B$ et la probabilité totale $P(B)$ . Pour déterminer la probabilité d’origine $A$ sachant que $B$ est réalisé, quelle opération doit-elle effectuer ?

12. Dans une expérience dont les issues sont réparties entre trois événements $C$ , $D$ et $E$ , quelle condition garantit que ces événements forment une partition de l’univers ?

14. Une enquête indique une probabilité égale à $\frac{3}{5}$ . Quelle valeur décimale et quel pourcentage lui correspondent ?

16. On sait que $P(A)=0{,}4$ et que $P(B)=0{,}3$ . Si A et B sont indépendants, quelle est la valeur de la probabilité de B sachant A ?

18. Un dispositif indépendant échoue avec une probabilité de $0{,}2$ à chaque essai. Il est utilisé quatre fois. Quelle expression donne la probabilité d’obtenir au moins un succès ?