Fiche de révision : Fractions, radicaux et valeurs absolues

📋 Plan du Cours

1. Calculs exacts avec fractions et radicaux
2. Valeurs absolues et équations
3. Sommes de distances et paramètres
4. Encadrements et rationalité des racines
5. Développement et rationalité des expressions
6. Erreurs de mesure et arrondis

📖 1. Calculs exacts avec fractions et radicaux

★ À maîtriser

• Pour calculer avec des fractions, effectuer les opérations en respectant les parenthèses, puis donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

• Pour simplifier un radical, extraire les facteurs carrés parfaits afin de l’écrire sous la forme $a\sqrt{b}$, où $b$ n’a aucun facteur carré supérieur à 1.

Compléments

📌 Pour additionner ou soustraire des radicaux, les réduire d’abord à des radicaux semblables ; pour un quotient de radicaux, donner un résultat exact sans racine au dénominateur.

📌 Pour rationaliser un dénominateur contenant une racine, multiplier par un facteur qui élimine cette racine, puis réduire le résultat.

📖 2. Valeurs absolues et équations

★ À maîtriser

• Pour calculer une expression contenant des valeurs absolues imbriquées, commencer par les barres intérieures et justifier le signe de chaque expression avant de retirer ses barres.

📌 Dans une équation de la forme $|u(x)|=v(x)$, le second membre doit être positif ou nul ; il faut résoudre les équations obtenues selon les signes de l’expression entre les barres, puis vérifier les solutions retenues.

Compléments

• Pour résoudre $|u(x)|=|v(x)|$, distinguer les cas où les expressions entre les barres sont égales et ceux où elles sont opposées, puis vérifier les solutions.

📌 Pour développer et réduire des expressions avec des radicaux, préciser si l’on utilise la distributivité ou une identité remarquable et déterminer si le résultat est rationnel.

📖 3. Sommes de distances et paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de distances : La fonction $G(x)=|x+2|+|x-5|$ représente la somme des distances de x aux points $-2$ et $5$.
• Somme de distances paramétrée : Pour $t>0$, la fonction $F_t(x)=|x-t|+|x+t|$ est la somme des distances de x à t et à $-t$.
• Somme de distances pondérée : La fonction $H(x)=2|x-1|+|x+2|$ est une somme de distances où la distance à 1 est multipliée par 2.

★ À maîtriser

• Pour écrire une somme de valeurs absolues sans barres, découper la droite réelle aux zéros des expressions entre barres, déterminer leurs signes sur chaque intervalle et remplacer les valeurs absolues en conséquence.

📐 Formule - Pour $t>0$ et $-t\leq x\leq t$, $F_t(x)=|x-t|+|x+t|=2t$.

Compléments

📐 Formule - La fonction $F_t$ est paire : $F_t(-x)=F_t(x)$.

📖 4. Encadrements et rationalité des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier $n\geq1$, le radicande de $r_n=\sqrt{n^2+2n}$ vérifie $n^2<n^2+2n<(n+1)^2$, donc $n<r_n<n+1$.

• La racine carrée d’un entier positif est rationnelle exactement lorsque cet entier est un carré parfait.

Compléments

📌 Pour justifier qu’une racine carrée est irrationnelle à l’aide du critère du carré parfait, il faut établir que son radicande entier positif n’est pas un carré parfait.

📖 5. Développement et rationalité des expressions

★ À maîtriser

• Pour déterminer les valeurs d’un paramètre qui rendent rationnelle une expression développée sous la forme $A+B\sqrt{3}$, utiliser l’irrationalité de $\sqrt{3}$ pour imposer l’annulation de son coefficient.

Compléments

• La simplification $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ permet de développer $P_k=(\sqrt{12}+k)(\sqrt{3}-2)$ sous la forme d’une partie rationnelle et d’un multiple de $\sqrt{3}$.

📌 Une expression de la forme $A+B\sqrt{3}$, avec A et B rationnels, est rationnelle lorsque le coefficient B est nul, puisque $\sqrt{3}$ est irrationnel.

📖 6. Erreurs de mesure et arrondis

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur absolue : La valeur absolue de l’écart entre la mesure et la valeur de référence.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’erreur relative est le quotient de l’erreur absolue par la valeur de référence : $e_r=\frac{e_a}{x_{\mathrm{référence}}}$.

Compléments

📐 Formule - Le pourcentage d’erreur est l’erreur relative multipliée par 100 : $p=100e_r$.

📌 Pour vérifier une tolérance maximale exprimée en pourcentage, comparer le pourcentage d’erreur calculé avant arrondi au seuil de tolérance.

📌 Lors d’un arrondi au dixième de gramme, une valeur exactement à mi-chemin est arrondie au dixième supérieur.

💡 Astuce mémo

L’erreur absolue mesure un écart ; l’erreur relative rapporte cet écart à la référence.