Fiche de révision : Proportions et évolutions en pourcentage

📋 Plan du Cours

1. Proportions et pourcentages
2. Proportions échelonnées
3. Évolutions et coefficients multiplicateurs
4. Coefficients multiplicateurs usuels
5. Calculer un taux d’évolution
6. Évolutions successives
7. Évolution réciproque

📖 1. Proportions et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : La proportion d’une sous-population dans une population de référence est le quotient de l’effectif de la sous-population par celui de la population de référence.

★ À maîtriser

• Pour calculer une proportion d’une valeur, on multiplie cette valeur par la proportion exprimée sous forme décimale.

Compléments

• Dans une classe de 480 élèves de seconde comptant 108 élèves externes, la proportion d’externes est $\frac{108}{480}=0{,}225=22{,}5\%$.

• Dans un groupe de 480 élèves, 15 % ont choisi l’option grec ou latin, soit $0{,}15\times480=72$ élèves.

📖 2. Proportions échelonnées

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A est inclus dans B et B dans C, la proportion de A dans C est le produit de la proportion de A dans B et de la proportion de B dans C : $p_{A/C}=p_{A/B}\times p_{B/C}$.

Compléments

• Si 40 % des personnes d’un car sont des élèves scolarisés et que 60 % de ces élèves sont des filles, les filles scolarisées représentent $0{,}40\times0{,}60=0{,}24$, soit 24 % des personnes du car.

📖 3. Évolutions et coefficients multiplicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur est le facteur par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur après évolution.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une augmentation de t %, la valeur finale s’obtient en multipliant la valeur initiale par le coefficient $1+\frac{t}{100}$.

📐 Formule - Pour une diminution de t %, la valeur finale s’obtient en multipliant la valeur initiale par le coefficient $1-\frac{t}{100}$.

📌 Une proportion décrit la part d’une sous-population dans une population de référence, tandis qu’une évolution décrit une augmentation ou une diminution d’une valeur.

Compléments

• Un survêtement coûtant 49 euros après une augmentation de 8 % coûte $49\times1{,}08=52{,}92$ euros.

• Un polo coûtant 21 euros après une diminution de 12 % coûte $21\times0{,}88=18{,}48$ euros.

💡 Astuce mémo

Proportion : rien ne bouge ; évolution : la valeur augmente ou diminue.

📖 4. Coefficients multiplicateurs usuels

📝 Points essentiels

• Pour une augmentation de taux p, le coefficient multiplicateur est $1 + \frac{p}{100}$ ; ainsi, une hausse de 30 % correspond à 1,30 et une hausse de 5 % à 1,05.

• Pour une diminution de taux p, le coefficient multiplicateur est $1 - \frac{p}{100}$ ; une baisse de 15 % correspond à 0,85 et une baisse de 60 % à 0,40.

📖 5. Calculer un taux d’évolution

★ À maîtriser

📐 Formule - Le taux d’évolution entre une valeur initiale $V_0$ et une valeur finale $V_1$ est $\frac{V_1 - V_0}{V_0}$.

• La population d’un village passe de 8 500 habitants en 2008 à 10 400 en 2012, soit une hausse de 1 900 habitants et un taux d’évolution de 22,4 %.

Compléments

• Pour calculer le taux d’évolution, on calcule la différence entre la valeur finale et la valeur initiale, puis on divise cette différence par la valeur initiale.

📖 6. Évolutions successives

★ À maîtriser

📌 Pour obtenir le coefficient multiplicateur global de plusieurs évolutions successives, on multiplie leurs coefficients multiplicateurs.

• Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % donne un coefficient global de $1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99$, soit une baisse de 1 %.

Compléments

• Le coefficient multiplicateur global se traduit en taux d’évolution en le comparant à 1 : 0,99 correspond à une baisse de 1 %.

📖 7. Évolution réciproque

★ À maîtriser

📌 Le coefficient multiplicateur d’une évolution réciproque est l’inverse du coefficient multiplicateur de l’évolution directe.

• Après une baisse de 8 %, le coefficient direct est 0,92 et le coefficient réciproque est $\frac{1}{0{,}92} \approx 1{,}087$, ce qui correspond à une hausse d’environ 8,7 %.

Compléments

• Pour déterminer le taux réciproque, on calcule le coefficient de l’évolution directe, on prend son inverse, puis on convertit le coefficient obtenu en taux d’évolution.

💡 Astuce mémo

Le coefficient réciproque est l’inverse du coefficient direct.