Fiche de révision : Puissances d’un nombre

📋 Plan du Cours

1. Définition des puissances
2. Cas particuliers des exposants
3. Propriétés des puissances
4. Priorités de calcul
5. Notation scientifique
6. Préfixes multiplicatifs

📖 1. Définition des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’un nombre : le produit de n facteurs tous égaux à a
• Puissance négative : l’inverse de $a^n$, soit $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

📝 Points essentiels

• Dans une puissance $a^n$, a est la base, n est l’exposant et $a^n$ se lit « a exposant n ».

• Par exemple, $(-4)^2=(-4)\times(-4)$, tandis que $-4^2=-4\times4$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : multiplications répétées ; exposant négatif : inverse.

📖 2. Cas particuliers des exposants

★ À maîtriser

📌 Pour tout nombre non nul a, $a^0=1$, $a^1=a$ et $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

Compléments

• Les puissances positives correspondent à des multiplications répétées par un même nombre, tandis que les puissances négatives correspondent à des divisions par ce nombre.

• Les puissances négatives de 10 donnent notamment $10^{-1}=0{,}1$, $10^{-2}=0{,}01$ et $10^{-3}=0{,}001$.

• Certaines puissances négatives, comme $3^{-1}=\frac{1}{3}$, $3^{-2}=\frac{1}{9}$ et $3^{-3}=\frac{1}{27}$, n’ont pas d’écriture décimale finie et s’écrivent sous forme fractionnaire.

💡 Astuce mémo

Zéro, un, moins un : 1, a, 1/a.

📖 3. Propriétés des puissances

★ À maîtriser

• Pour une même base, $a^p\times a^q=a^{p+q}$.

• Pour une puissance d’une puissance, $(a^p)^q=a^{p\times q}$.

• Pour un même exposant, $a^n\times b^n=(ab)^n$.

Compléments

• On obtient $10^4\times10^2=10^6$ en additionnant les exposants de la même base 10.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne ; puissance d’une puissance : on multiplie ; même exposant : on regroupe.

📖 4. Priorités de calcul

★ À maîtriser

• 🔄 Pour calculer une expression, on suit cet ordre:
  1. les calculs entre parenthèses
  2. les puissances
  3. les multiplications et divisions
  4. les additions et soustractions

Compléments

• Pour $A=(3-5)\times4^2+6$, on obtient $A=-26$ en appliquant les priorités de calcul.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions.

📖 5. Notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : l’écriture $a\times10^n$, où a est un nombre décimal tel que $1\leq a<10$ et n est un entier relatif

📝 Points essentiels

• Le nombre 2007 s’écrit $2{,}007\times10^3$ en notation scientifique.

• Le nombre 0,0425 s’écrit $4{,}25\times10^{-2}$ en notation scientifique.

💡 Astuce mémo

Notation scientifique : un nombre décimal entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10.

📖 6. Préfixes multiplicatifs

📝 Points essentiels

• Les préfixes multiplicatifs associés aux puissances positives sont tera (T, $10^{12}$), giga (G, $10^9$), méga (M, $10^6$), kilo (k, $10^3$), hecto (h, $10^2$) et déca (da, $10^1$).

• Les préfixes multiplicatifs associés aux puissances négatives sont déci (d, $10^{-1}$), centi (c, $10^{-2}$), milli (m, $10^{-3}$), micro (µ, $10^{-6}$), nano (n, $10^{-9}$) et pico (p, $10^{-12}$).