Fiche de révision : Puissances et écriture scientifique

📋 Plan du Cours

1. Définition des puissances entières
2. Calculs avec les puissances
3. Puissances de dix
4. Encadrement par puissances de dix
5. Écriture scientifique

📖 1. Définition des puissances entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour tout nombre réel a et tout entier naturel n non nul, la puissance a^n est le produit de n facteurs égaux à a, où a est la base et n l’exposant.

📝 Points essentiels

• La puissance 2^5 est le produit de cinq facteurs égaux à 2, soit 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

💡 Astuce mémo

Visualiser une base répétée autant de fois que l’indique l’exposant.

📖 2. Calculs avec les puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout nombre réel a et tous entiers relatifs m et n, $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

📐 Formule — Si a est non nul, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

📐 Formule — Pour tout nombre réel non nul a, $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ ; a^{-m} est l’inverse de a^m.

📐 Formule — Pour tout nombre réel a, $a^1=a$, et si a est non nul, $a^0=1$.

Compléments

📐 Formule — Pour des nombres réels non nuls a et b et des entiers relatifs m et n, $(a^m)^n=a^{mn}$, $(ab)^m=a^m b^m$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$.

💡 Astuce mémo

Produit : les exposants s’additionnent ; quotient : ils se soustraient.

📖 3. Puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance de dix positive : Pour tout entier positif n, $10^n$ s’écrit comme un 1 suivi de n zéros.
• Puissance de dix négative : Pour tout entier positif n, $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$ s’écrit avec n chiffres après la virgule, le dernier étant 1 et les précédents étant des zéros.

📝 Points essentiels

• Les nombres 100000 et 0,000001 s’écrivent respectivement 10^5 et 10^{-6}.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : zéros après 1 ; exposant négatif : chiffres après la virgule.

📖 4. Encadrement par puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement par puissances de dix : Encadrer un nombre réel positif a par deux puissances de 10 consiste à trouver un entier relatif n tel que $10^n \leq a < 10^{n+1}$.

📝 Points essentiels

• Le nombre 12589 vérifie $10^4<12589<10^5$.

• Le nombre 0,0031 vérifie $10^{-3}<0{,}0031<10^{-2}$.

💡 Astuce mémo

Repérer l’ordre de grandeur entraîne l’encadrement entre deux puissances successives de 10.

📖 5. Écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : Tout nombre réel positif peut s’écrire sous la forme $a\times10^n$, où n est un entier relatif et a appartient à l’intervalle [1 ; 10[.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour obtenir l’écriture scientifique d’un nombre: placer la virgule après le premier chiffre non nul, compter le déplacement de la virgule, déterminer l’exposant de 10

Compléments

• Le nombre 240169 s’écrit 2,40169 × 10^5 en écriture scientifique.

• Le nombre 0,00256 s’écrit 2,56 × 10^{-3} en écriture scientifique.

💡 Astuce mémo

Le coefficient est entre 1 et 10 ; l’exposant déplace la virgule.