Fiche de révision : Puissances et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Définition des puissances entières
2. Calcul et signes des puissances
3. Notation scientifique des nombres
4. Définition et propriétés des racines
5. Simplification des expressions radicales

📖 1. Définition des puissances entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Pour un réel non nul a et un entier naturel n strictement positif, a^n est le produit de n facteurs égaux à a.
• Puissance négative : Pour un réel non nul a et un entier positif n, a^{-n} est l’inverse de a^n, soit 1/a^n.

📝 Points essentiels

📌 Pour un réel non nul a, a^0 = 1 et a^1 = a.

📖 2. Calcul et signes des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un réel non nul a et des entiers m et n, $a^m \times a^n = a^{m+n}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ lorsque le quotient est défini.

📐 Formule - Pour un réel non nul a et des entiers m et n, $(a^m)^n=a^{mn}$.

📌 Si l’exposant est pair, la puissance d’un réel non nul est positive ; s’il est impair, elle a le signe de la base.

Compléments

📐 Formule - Pour des réels a et b et un entier n, $(ab)^n=a^n b^n$ et, lorsque le quotient est défini, $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

📌 Pour un réel non nul a, a^n n’est pas égal en général à n a, et (a+b)^n n’est pas égal en général à a^n+b^n.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne les exposants au produit, on les soustrait au quotient.

📖 3. Notation scientifique des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Un nombre positif est écrit en notation scientifique sous la forme a × 10^n, où 1 ≤ a < 10 et n est un entier.

📝 Points essentiels

• 11,1 × 10^5 n’est pas une notation scientifique, car le coefficient 11,1 est supérieur ou égal à 10.

📖 4. Définition et propriétés des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour tout réel a positif ou nul, la racine carrée de a, notée √a, est l’unique réel positif dont le carré vaut a.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

📐 Formule - Pour des réels a et b positifs ou nuls, $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ et, si b est strictement positif, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

Compléments

📌 La racine carrée d’un nombre négatif, telle que √(-5), n’est pas définie dans les réels.

📖 5. Simplification des expressions radicales

📝 Points essentiels

• Pour simplifier une racine carrée, on extrait du radical les facteurs qui sont des carrés parfaits.

• Pour supprimer un radical au dénominateur d’une fraction, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le radical approprié ou par l’expression conjuguée du dénominateur.