Fiche de révision : Puissances et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Définition des puissances entières
2. Calculs et propriétés des puissances
3. Notation scientifique des nombres
4. Définition et domaine des racines
5. Calculs avec les racines carrées

📖 1. Définition des puissances entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Pour un réel non nul $a$ et un entier naturel $n>0$, la puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.
• Puissance négative : Pour un réel non nul $a$ et un entier naturel $n>0$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

★ À maîtriser

• Par convention, $a^0=1$ et $a^1=a$.

Compléments

• Par exemple, $8^3=512$ et $4^{-2}=0{,}25$.

📖 2. Calculs et propriétés des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une même base non nulle, $a^n\times a^p=a^{n+p}$ et $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$.

📐 Formule - Pour une base non nulle, $(a^n)^p=a^{np}$.

📐 Formule - Pour un produit et un quotient de bases non nulles, $(ab)^n=a^nb^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Compléments

📌 Si l’exposant est pair, la puissance d’un réel non nul est positive ; s’il est impair, elle a le signe de la base.

📌 En général, $a^n\ne n\times a$, $(a+b)^n\ne a^n+b^n$ et $a^{-n}\ne -a^n$.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne les exposants au produit, mais on les soustrait au quotient.

📖 3. Notation scientifique des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Un nombre positif est écrit en notation scientifique sous la forme $a\times10^n$, où $1\leq a<10$ et $n$ est un entier.

📝 Points essentiels

• $11{,}1\times10^3$ n’est pas une notation scientifique, car $11{,}1$ n’est pas inférieur à $10$.

• Les puissances de 10 donnent notamment $10^{-5}=0{,}00001$ et $10^5=100000$.

📖 4. Définition et domaine des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour un réel positif $a$, la racine carrée $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$.

★ À maîtriser

📌 La racine carrée d’un nombre négatif, comme $-5$, n’est pas définie dans les réels.

📐 Formule - Pour tout réel $a$, $\sqrt{a^2}=|a|$.

Compléments

📌 Pour tout réel positif $a$, $\sqrt a\times\sqrt a=a$.

• $\sqrt{4}=2$, car $2^2=4$ et $2>0$.

📖 5. Calculs avec les racines carrées

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$ lorsque le quotient est défini.

📌 Pour des réels strictement positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a+b}<\sqrt a+\sqrt b$ ; la racine carrée ne se distribue donc pas sur une addition.

Compléments

• Pour simplifier un radical, on décompose le nombre sous le radical en un produit faisant apparaître un carré parfait, puis on extrait sa racine carrée.

• Pour supprimer un radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par une expression appropriée, notamment l’expression conjuguée lorsque le dénominateur est une somme ou une différence avec radical.

• Par exemple, $\sqrt{12}=\sqrt{3\times4}=2\sqrt3$.