Fiche de révision : Pythagore et théorème de Thalès

📋 Plan du Cours

1. Calculer une longueur avec Pythagore
2. Réciproque et contraposée de Pythagore
3. Calculer une longueur avec Thalès
4. Réciproque du théorème de Thalès

📖 1. Calculer une longueur avec Pythagore

📝 Points essentiels

📌 Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

📐 Formule — Pour le triangle MNO rectangle en N, $MO^2 = MN^2 + NO^2$.

• Avec MN = 3 cm et NO = 4 cm, le calcul $MO^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ donne $MO = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$.

💡 Astuce mémo

Carrés des deux côtés de l’angle droit → carré de l’hypoténuse → racine carrée

📖 2. Réciproque et contraposée de Pythagore

★ À maîtriser

📌 Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

• Pour appliquer la réciproque de Pythagore, on identifie le côté le plus long, on calcule son carré, on calcule la somme des carrés des deux autres côtés, puis on compare les deux résultats.

• Dans le triangle MNO, si MO est le côté le plus long et si $MO^2 = 5^2 = 25\text{ cm}^2$ ainsi que $MN^2 + NO^2 = 3^2 + 4^2 = 25\text{ cm}^2$, alors le triangle MNO est rectangle en N d’après la réciproque de Pythagore.

Compléments

📌 La contraposée de Pythagore permet de conclure qu’un triangle n’est pas rectangle lorsque le carré de son côté le plus long n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

💡 Astuce mémo

Égalité de Pythagore → triangle rectangle ; absence d’égalité → triangle non rectangle

📖 3. Calculer une longueur avec Thalès

📝 Points essentiels

📌 Dans un triangle ABC, si M appartient à [AB], N appartient à [AC], les points sont alignés dans le même ordre et (MN) est parallèle à (BC), alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📐 Formule — Dans l’exemple, les rapports vérifient $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$, soit $\frac{5}{10}=\frac{6}{12}=\frac{4}{BC}$.

• Avec AM = 5 cm, AB = 10 cm, AN = 6 cm, AC = 12 cm et MN = 4 cm, le théorème de Thalès donne BC = 8 cm.

💡 Astuce mémo

Deux droites parallèles découpent les côtés du triangle en longueurs proportionnelles

📖 4. Réciproque du théorème de Thalès

★ À maîtriser

📌 Si M appartient à [AB], N appartient à [AC], les points sont alignés dans le même ordre et $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

• Comme les trois rapports sont égaux, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Compléments

• Dans l’exemple, $\frac{AM}{AB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$, $\frac{AN}{AC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ et $\frac{MN}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.

💡 Astuce mémo

Rapports égaux → droites parallèles

📊 Tableaux de synthèse

Théorèmes et réciproques