QCM : Pythagore et théorème de Thalès — 11 questions

Explication

Le théorème de Pythagore relie le carré de l’hypoténuse aux carrés des deux côtés qui forment l’angle droit. L’hypoténuse n’est pas un côté de l’angle droit, mais le côté qui lui est opposé.

Explication

Comme l’angle droit est en N, le côté opposé MO est l’hypoténuse, donc $MO^2 = MN^2 + NO^2$. Les égalités qui placent MN ou NO comme hypoténuse inversent le rôle des côtés.

Explication

On obtient $MO^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, puis $MO = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$. La valeur 7 cm correspondrait à une addition directe des deux côtés, qui n’est pas la méthode de Pythagore.

Explication

La réciproque établit que l’égalité entre le carré du côté le plus long et la somme des deux autres carrés entraîne un angle droit. Une inégalité ne permet pas cette conclusion par la réciproque.

Explication

La méthode consiste à repérer le côté le plus long, à calculer son carré et la somme des carrés des deux autres côtés, puis à comparer ces résultats. La contraposée s’appuie plutôt sur une égalité non vérifiée pour conclure que le triangle n’est pas rectangle.

Explication

L’absence de l’égalité de Pythagore permet de conclure que le triangle n’est pas rectangle. Elle ne permet pas de déterminer un angle droit ni d’imposer une relation entre les deux côtés plus courts.

Explication

Le théorème de Thalès s’applique lorsque M et N sont situés sur les côtés correspondants, dans le même ordre, et lorsque (MN) est parallèle à (BC). L’égalité des rapports n’est pas ici la condition de départ de la réciproque, mais le résultat du parallélisme.

Explication

Dans cette égalité, les rapports $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ sont connus, tandis que BC apparaît dans le rapport contenant MN. La grandeur inconnue est donc la longueur BC.

Explication

Les rapports connus valent $\frac{5}{10}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Ainsi $\frac{4}{BC}=\frac{1}{2}$, d’où $BC=8\text{ cm}$; 6 cm et 12 cm correspondent à d’autres longueurs données ou à une mauvaise proportion.

Explication

La réciproque s’applique lorsque les points sont dans le même ordre et que $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$, ce qui permet de conclure au parallélisme. La confusion fréquente consiste à partir d’un parallélisme déjà connu, situation qui relève du théorème direct de Thalès.

Explication

On obtient $\frac{AM}{AB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$, $\frac{AN}{AC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ et $\frac{MN}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ; la réciproque permet donc de conclure au parallélisme. La proportionnalité des longueurs ne signifie pas que les droites sont perpendiculaires.