Fiche de révision : Régime alternatif sinusoïdal monophasé

📋 Plan du Cours

1. Fonctionnement en régime alternatif
2. Grandeurs sinusoïdales et représentations
3. Nombres complexes en électrotechnique
4. Récepteurs et impédances électriques
5. Associations et lois des circuits

📖 1. Fonctionnement en régime alternatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Période : La période $T$ est la durée au bout de laquelle un signal périodique se répète.

★ À maîtriser

📌 Un fonctionnement transitoire ne se répète pas forcément dans le temps, tandis qu’un fonctionnement périodique se répète.

📐 Formule - La fréquence d’un signal périodique est l’inverse de sa période : $f=\frac{1}{T}$.

Compléments

• Les trois grandes formes de signaux périodiques sont :
  • sinusoïdale
  • triangulaire
  • carrée

💡 Astuce mémo

Transitoire : ne se répète pas forcément ; périodique : se répète.

📖 2. Grandeurs sinusoïdales et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur moyenne : La valeur moyenne d’une grandeur électrique périodique, aussi appelée composante continue, est sa moyenne sur une période : $X_{\mathrm{moy}}=\frac{1}{T}\int_0^T x(t)\,dt$.
• Valeur efficace : La valeur efficace d’un signal périodique est la racine carrée de la moyenne du carré du signal sur une période : $X_{\mathrm{eff}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T x^2(t)\,dt}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Un signal sinusoïdal de valeur maximale $X_{\max}$, de pulsation $\omega$ et de phase à l’origine $\varphi$ s’écrit $x(t)=X_{\max}\sin(\omega t-\varphi)$.

📐 Formule - Pour un signal sinusoïdal, la valeur efficace vaut $X=\frac{X_{\max}}{\sqrt{2}}$ et la valeur moyenne sur une période est nulle.

Compléments

📐 Formule - La pulsation d’un signal sinusoïdal est liée à sa fréquence par $\omega=2\pi f$ et s’exprime en radians par seconde.

• Dans la représentation de Fresnel, le vecteur est défini à l’instant $t=0$ et son module est la valeur efficace de la grandeur représentée.

📖 3. Nombres complexes en électrotechnique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Un nombre complexe s’écrit $z=a+jb$, où $j^2=-1$ et où $a$ et $b$ sont ses coordonnées réelle et imaginaire.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’écriture polaire d’un nombre complexe est $z=r(\cos\varphi+j\sin\varphi)=re^{j\varphi}$, où $r$ est son module et $\varphi$ son argument.

Compléments

📐 Formule - Le module d’un nombre complexe $z=a+jb$ est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

• Les grandeurs sinusoïdales peuvent être représentées dans le plan complexe par des grandeurs complexes de module égal à leur valeur efficace et d’argument égal à leur phase.

📖 4. Récepteurs et impédances électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Résistance : Une résistance de valeur $R$ relie la tension et le courant par la loi $v(t)=Ri(t)$ ; son unité est l’ohm ($\Omega$).
• Inductance : Une inductance de valeur $L$ vérifie $v(t)=L\frac{di(t)}{dt}$ ; son unité est le henry ($H$).
• Capacité : Un condensateur de capacité $C$ vérifie $i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$ ; sa capacité s’exprime en farads ($F$).

★ À maîtriser

📐 Formule - En représentation complexe, l’impédance est définie par $Z=\frac{V}{I}$ et son module $|Z|$ s’exprime en ohms.

📐 Formule - Les impédances complexes d’une résistance, d’une inductance et d’un condensateur sont respectivement $Z_R=R$, $Z_L=j\omega L$ et $Z_C=\frac{1}{j\omega C}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un circuit série RLC, l’impédance complexe est $Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$.

📖 5. Associations et lois des circuits

★ À maîtriser

📐 Formule - En série, l’impédance équivalente est la somme des impédances : $Z_{\mathrm{eq}}=\sum_{i=1}^{N}Z_i$.

📐 Formule - En parallèle, l’inverse de l’impédance équivalente est la somme des inverses des impédances : $\frac{1}{Z_{\mathrm{eq}}}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{Z_i}$.

📌 Un circuit est inductif lorsque sa réactance est positive et que le courant est en retard sur la tension ; il est capacitif lorsque sa réactance est négative et que le courant est en avance sur la tension.

Compléments

📌 Dans un circuit électrique, les lois de Kirchhoff s’appliquent aux nœuds et aux mailles, et la loi d’Ohm généralisée relie tension, courant et impédance par $V=ZI$.

💡 Astuce mémo

Le signe de la réactance détermine le caractère inductif ou capacitif.