Fiche de révision : Suites et limites

📋 Plan du Cours

1. Définitions et propriétés des suites
2. Convergence et limites infinies
3. Opérations sur les limites
4. Ordre et encadrement des suites
5. Suites monotones et adjacentes
6. Suites extraites et divergence
7. Adhérence et borne supérieure

📖 1. Définitions et propriétés des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite $(u_n)$ est croissante si, pour tous $i,j\in\mathbb N$ tels que $i<j$, on a $u_i\leq u_j$ ; il suffit aussi de vérifier que $u_{n+1}\geq u_n$ pour tout $n$.
• Suite bornée : Une suite $(u_n)$ est bornée s’il existe $C\in\mathbb R$ tel que $|u_n|\leq C$ pour tout $n\in\mathbb N$, ce qui équivaut à être à la fois majorée et minorée.
• Suite décroissante : Une suite $(u_n)$ est décroissante si, pour tous $i,j\in\mathbb N$ tels que $i<j$, on a $u_i\geq u_j$ ; il suffit aussi de vérifier que $u_{n+1}\leq u_n$ pour tout $n$.
• Suite périodique : Une suite $(u_n)$ est périodique s’il existe $p\in\mathbb N^*$ tel que $u_{n+p}=u_n$ pour tout $n\in\mathbb N$.

📝 Points essentiels

📌 Deux suites sont égales si et seulement si elles sont égales en tant qu’applications, c’est-à-dire si elles ont les mêmes termes pour chaque indice.

📖 2. Convergence et limites infinies

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence d’une suite : Une suite $(u_n)$ converge vers $\ell\in\mathbb R$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb N$ tel que $|u_n-\ell|<\varepsilon$ pour tout $n\geq N$.
• Limite infinie positive : Une suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si, pour tout $A\in\mathbb R$, il existe $N\in\mathbb N$ tel que $u_n\geq A$ pour tout $n\geq N$.

★ À maîtriser

• Une suite réelle ne peut pas converger vers deux limites distinctes : si elle converge vers $\ell$ et vers $\ell'$, alors $\ell=\ell'$.

• Une suite convergente est bornée.

Compléments

📌 La négation de la convergence vers $\ell$ s’écrit : il existe $\varepsilon>0$ tel que, pour tout $N\in\mathbb N$, il existe $n\geq N$ avec $|u_n-\ell|>\varepsilon$.

💡 Astuce mémo

La convergence impose un voisinage fixe de la limite ; tendre vers l’infini impose de dépasser tout seuil.

📖 3. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to\ell'$, alors $|u_n|\to|\ell|$, $\lambda u_n\to\lambda\ell$ pour tout scalaire $\lambda\in\mathbb R$, $u_n+v_n\to\ell+\ell'$ et $u_nv_n\to\ell\ell'$.

📌 Si $u_n\to\ell$ avec $\ell\neq0$, alors $1/u_n$ est définie à partir d’un certain rang et $1/u_n\to1/\ell$.

📌 Dans les limites de produits, les signes des facteurs infinis déterminent le signe du produit ; en revanche, le produit d’une suite tendant vers $\pm\infty$ par une suite tendant vers $0$ est une forme indéterminée.

Compléments

• Pour $p\in\mathbb Z$, $n^p\to+\infty$ si $p>0$ et $n^p\to0$ si $p<0$.

• Les suites $u_n=n$ et $v_n=1/n$ vérifient $u_n\to+\infty$, $v_n\to0$, mais $u_nv_n=1$ pour tout $n$.

📖 4. Ordre et encadrement des suites

★ À maîtriser

• Si $u_n\to\ell$ et $\ell>a$, alors il existe $N$ tel que $u_n>a$ pour tout $n\geq N$.

• Si $u_n\to\ell$ et si $u_n\geq0$ à partir d’un certain rang, alors $\ell\geq0$.

• Si $u_n$ et $v_n$ convergent et si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, alors $\lim u_n\leq\lim v_n$.

Compléments

📌 Si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang et $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$.

💡 Astuce mémo

Une suite prise en sandwich entre deux suites qui rejoignent la même limite est entraînée vers elles.

📖 5. Suites monotones et adjacentes

★ À maîtriser

• Toute suite croissante et majorée converge.

• Toute suite décroissante et minorée converge.

• Si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ décroissante, $u_n\leq v_n$ pour tout $n$ et $v_n-u_n\to0$, alors les deux suites convergent vers une même limite réelle ; elles sont dites adjacentes.

Compléments

📌 Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

📌 Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

💡 Astuce mémo

Monotonie + borne du bon côté → convergence ; sans cette borne, divergence vers l’infini.

📖 6. Suites extraites et divergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Extraction : Une extraction est une application strictement croissante $\varphi:\mathbb N\to\mathbb N$ ; la suite extraite de $(u_n)$ a pour terme général $u_{\varphi(n)}$.
• Valeur d’adhérence : Une valeur d’adhérence d’une suite est la limite d’une de ses suites extraites.

★ À maîtriser

📌 Si $(u_n)$ converge vers $\ell\in\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$, toute suite extraite de $(u_n)$ converge vers la même limite.

📌 Si deux suites extraites d’une suite ont des limites différentes, alors la suite initiale diverge.

Compléments

• Pour toute extraction $\varphi$, on a $\varphi(n)\geq n$ pour tout $n\in\mathbb N$.

• La suite $u_n=(-1)^n$ diverge et possède deux valeurs d’adhérence, $1$ et $-1$, obtenues respectivement par les extractions $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$.

📖 7. Adhérence et borne supérieure

🔑 Notions clés & Définitions

• Point adhérent : Un réel $x$ est adhérent à une partie $A\subseteq\mathbb R$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $a\in A$ tel que $|x-a|<\varepsilon$.

★ À maîtriser

📌 Un réel $x$ est adhérent à $A$ si et seulement s’il existe une suite d’éléments de $A$ qui converge vers $x$.

📌 Pour une partie non vide et majorée $A\subseteq\mathbb R$, un réel $\ell$ est égal à $\sup(A)$ si et seulement s’il majore $A$ et est adhérent à $A$.

Compléments

📌 Pour une partie non vide et majorée $A\subseteq\mathbb R$, $\ell=\sup(A)$ si et seulement si $\ell$ majore $A$ et s’il existe une suite d’éléments de $A$ qui converge vers $\ell$.

• Les suites $n/(n+1)$, $2-1/n$ et $1/n$ montrent respectivement que $1$ est adhérent à $\mathbb R^+$, que $2$ est adhérent à $[0{,}2[$ et que $0$ est adhérent à $\mathbb R^+$.