Fiche de révision : Les puissances et les puissances de 10

📋 Plan du Cours

1. Notation et cas particuliers des puissances
2. Écriture décimale des puissances de 10
3. Calculs sur les puissances de 10
4. Reconnaître une notation scientifique
5. Convertir et comparer des nombres

📖 1. Notation et cas particuliers des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance $a^n$, où $n$ est un entier positif, représente le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout nombre non nul $a$, $a^0=1$; l’expression $0^0$ n’est pas définie.

📌 $(-3)^4$ est le produit de quatre facteurs $-3$ et vaut $81$, tandis que $-3^4$ désigne l’opposé de $3^4$ et vaut $-81$.

Compléments

• Une puissance de 1 vaut le nombre lui-même, car $a^1=a$.

📌 Pour tout entier positif $n$, $0^n=0$ et $1^n=1$.

💡 Astuce mémo

Le signe moins dans les parenthèses est élevé à la puissance ; placé devant, il ne l’est pas.

📖 2. Écriture décimale des puissances de 10

★ À maîtriser

• Pour tout entier positif $n$, $10^n$ s’écrit avec un 1 suivi de $n$ zéros ; par exemple, $10^5=100000$.

📐 Formule - Pour tout entier positif $n$, $10^{-n}=\frac{1}{10^n}$.

Compléments

• $10^{-1}=0{,}1$.

• $10^{-4}=0{,}0001$.

📌 La lecture d’un nombre de zéros à partir de l’exposant ne s’applique qu’aux puissances de 10 ; pour calculer $5^3$, il faut effectuer $5\times5\times5$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : des zéros après 1 ; exposant négatif : des zéros avant 1.

📖 3. Calculs sur les puissances de 10

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des entiers $m$ et $p$, $10^m\times10^p=10^{m+p}$.

📐 Formule - Pour des entiers $m$ et $p$, $\frac{10^m}{10^p}=10^{m-p}$.

📐 Formule - Pour des entiers $m$ et $p$, $(10^m)^p=10^{m\times p}$.

Compléments

• $10^2\times10^3=10^5$.

• $\frac{10^6}{10^4}=10^2$.

📖 4. Reconnaître une notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Produit dont le premier facteur est un nombre compris entre 1 inclus et 10 exclu, et dont le second facteur est une puissance de 10.

★ À maîtriser

📌 Pour être valide en notation scientifique, le nombre placé avant la puissance de 10 doit être au moins égal à 1 et strictement inférieur à 10.

Compléments

📌 Le facteur placé après le nombre compris entre 1 et 10 doit être une seule puissance de 10.

• $7{,}3 \times 10^{-5}$ est une notation scientifique valide, car $7{,}3$ est compris entre 1 et 10 et le second facteur est une puissance de 10.

📖 5. Convertir et comparer des nombres

★ À maîtriser

• La notation scientifique permet d'écrire de façon compacte les nombres très grands ou très petits et de faciliter leur comparaison.

• Pour convertir un nombre en notation scientifique, on déplace la virgule afin d'obtenir un coefficient compris entre 1 et 10, puis on ajuste la puissance de 10 pour conserver l'égalité.

📌 Pour comparer deux nombres en notation scientifique, on compare d'abord leurs exposants de 10 ; si les exposants sont égaux, on compare leurs coefficients.

Compléments

• $125{,}5 \times 10^{15} = 1{,}255 \times 10^{17}$.