QCM : Suites et limites (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. On considère une suite dont chaque terme est supérieur ou égal au précédent. Quelle vérification suffit pour établir qu’elle est croissante ?

Vérifier que un+2≥unu_{n+2}\geq u_n pour tout nn
Vérifier que un+1≥unu_{n+1}\geq u_n pour tout nn
Vérifier que un+1>unu_{n+1}>u_n pour tout nn
Vérifier que un+1≤unu_{n+1}\leq u_n pour tout nn

Vérifier que $$u_{n+1}\geq u_n$$ pour tout $$n$$

Explication

Pour établir qu’une suite est croissante, il suffit de vérifier que chaque terme est supérieur ou égal au terme qui le précède. L’inégalité inversée correspond à une suite décroissante, la comparaison avec le terme d’indice n+2n+2 ne suffit pas à elle seule, et une inégalité stricte impose une condition plus forte.

2. Une suite réelle est à la fois majorée par 77 et minorée par −4-4. Quelle propriété peut-on en déduire ?

Elle est seulement majorée, car la borne supérieure est positive
Elle n’est bornée que si les bornes sont opposées
Elle est bornée, car ses termes restent entre −4-4 et 77
Elle est seulement minorée, car la borne inférieure est négative

Elle est bornée, car ses termes restent entre $$-4$$ et $$7$$

Explication

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée; ici, tous ses termes se trouvent entre −4-4 et 77. Être seulement majorée ou seulement minorée ne suffit pas, et les bornes n’ont pas à être opposées.

3. Pour montrer qu’une suite converge vers 33, quel critère faut-il établir ?

Il existe un ε>0\varepsilon>0 tel que tous les termes vérifient ∣un−3∣<ε|u_n-3|<\varepsilon
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe un rang après lequel ∣un−3∣<ε|u_n-3|<\varepsilon
Pour tout rang, il existe un terme ultérieur tel que ∣un−3∣<ε|u_n-3|<\varepsilon
À partir d’un rang, chaque terme est exactement égal à 33

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe un rang après lequel $$|u_n-3|<\varepsilon$$

Explication

La convergence vers 33 signifie que, pour toute tolérance positive, tous les termes à partir d’un certain rang sont à une distance de 33 inférieure à cette tolérance. Une tolérance unique ne suffit pas, et la convergence n’exige pas que les termes deviennent exactement égaux à leur limite.

4. Une suite dépasse finalement toute valeur réelle fixée, aussi grande soit-elle. Quelle conclusion décrit cette propriété ?

La suite converge vers une limite réelle
La suite est croissante
La suite tend vers −∞-\infty
La suite tend vers +∞+\infty

La suite tend vers $$+\infty$$

Explication

Tendre vers +∞+\infty signifie que, pour tout réel fixé, les termes finissent par être supérieurs ou égaux à ce seuil. La convergence vers une limite réelle décrit au contraire une proximité arbitraire de cette limite; le dépassement de seuils ne garantit pas à lui seul une croissance terme à terme.

5. Que signifie la règle de passage à la limite pour le produit de deux suites convergentes ?

Le produit converge vers le quotient de leurs limites.
Le produit converge vers la différence de leurs limites.
Le produit converge vers la somme de leurs limites.
Le produit converge vers le produit de leurs limites.

Le produit converge vers le produit de leurs limites.

Explication

Lorsque deux suites convergent, leur produit converge vers le produit de leurs limites. La somme de leurs limites est la limite de la somme des suites, et non de leur produit.

6. Si une suite converge vers une limite strictement supérieure à aa, quelle propriété vérifie-t-elle à partir d’un certain rang ?

Ses termes sont inférieurs ou égaux à aa.
Ses termes sont positifs à partir de ce rang.
Ses termes sont égaux à leur limite.
Ses termes sont strictement supérieurs à aa.

Ses termes sont strictement supérieurs à $$a$$.

Explication

La limite étant strictement supérieure à aa, les termes de la suite finissent par être eux aussi strictement supérieurs à aa. La positivité ne découle pas de cette propriété, car aa peut être négatif.

7. Quel est le rôle de la condition vn−un→0v_n-u_n\to0 lorsque (un)(u_n) est croissante, (vn)(v_n) décroissante et un≤vnu_n\leq v_n pour tout nn ?

Elle garantit que les deux suites convergent vers des limites distinctes.
Elle entraîne que la suite croissante tend vers +∞+\infty.
Elle garantit que les deux suites convergent vers une même limite réelle.
Elle assure que la suite décroissante est minorée par chaque terme de la suite croissante.

Elle garantit que les deux suites convergent vers une même limite réelle.

Explication

La différence entre les termes correspondants tendant vers zéro, les deux suites monotones qui se tiennent dans l’ordre convergent vers la même limite réelle. La seule décroissance de (vn)(v_n) ne permet pas de conclure à des limites distinctes ni à une convergence sans borne adaptée.

8. Quelle différence entre une suite extraite et une valeur d’adhérence permet de les distinguer ?

Une suite extraite est une sous-suite convergente, tandis qu’une valeur d’adhérence désigne la limite de la suite initiale.
Une suite extraite est une suite obtenue en choisissant des indices strictement croissants, tandis qu’une valeur d’adhérence est une limite possible d’une telle suite.
Une suite extraite est une suite périodique, tandis qu’une valeur d’adhérence est une limite commune à toutes ses sous-suites.
Une suite extraite est une limite d’une suite, tandis qu’une valeur d’adhérence est une suite obtenue en choisissant des indices croissants.

Une suite extraite est une suite obtenue en choisissant des indices strictement croissants, tandis qu’une valeur d’adhérence est une limite possible d’une telle suite.

Explication

Une extraction sélectionne des termes de la suite à des indices strictement croissants, et la suite correspondante est dite extraite. Une valeur d’adhérence n’est pas une sous-suite, mais la limite d’une suite extraite.

9. Pour une partie non vide et majorée A⊆RA\subseteq\mathbb R, quelle conséquence permet de conclure que ℓ=sup⁡(A)\ell=\sup(A) lorsque ℓ\ell majore AA et est adhérent à AA ?

Aucun élément de AA ne peut être supérieur à ℓ\ell, et des éléments de AA peuvent s’en approcher arbitrairement.
La partie AA contient nécessairement ℓ\ell, qui est alors son plus grand élément.
La partie AA est nécessairement un intervalle fermé dont l’extrémité supérieure est ℓ\ell.
Tous les éléments de AA sont strictement inférieurs à ℓ\ell, et leur distance à ℓ\ell est uniformément positive.

Aucun élément de $$A$$ ne peut être supérieur à $$\ell$$, et des éléments de $$A$$ peuvent s’en approcher arbitrairement.

Explication

Être majorant empêche les éléments de AA de dépasser ℓ\ell, tandis que l’adhérence signifie qu’on peut trouver des éléments de AA arbitrairement proches de ℓ\ell. Cela n’implique pas que ℓ\ell appartienne à AA, contrairement à l’idée qu’il serait nécessairement son plus grand élément.

10. Pour vérifier en pratique qu’une suite est périodique, quelle condition doit-on établir pour un même entier naturel non nul pp ?

Que un+1≥unu_{n+1}\geq u_n pour tout n∈Nn\in\mathbb N
Que un+p=unu_{n+p}=u_n pour tout n∈Nn\in\mathbb N
Que un+p≥unu_{n+p}\geq u_n pour tout n∈Nn\in\mathbb N
Qu’il existe un réel CC tel que ∣un∣≤C|u_n|\leq C pour tout n∈Nn\in\mathbb N

Que $$u_{n+p}=u_n$$ pour tout $$n\in\mathbb N$$

Explication

Une suite est périodique lorsqu’un décalage fixe non nul reproduit chacun de ses termes, quel que soit l’indice. La condition de croissance compare des termes consécutifs, mais ne garantit pas la répétition des termes.

11. Quelle propriété caractérise une suite réelle qui converge vers une limite finie ?

Elle est bornée sur l’ensemble de ses indices, même si ses termes ne se rapprochent pas d’un réel fixe.
Elle possède deux sous-suites convergeant vers des limites distinctes.
Elle est bornée à partir d’un certain rang, sans nécessairement rester proche d’un réel fixe.
Elle dépasse tout seuil réel fixé à partir d’un certain rang.

Elle est bornée sur l’ensemble de ses indices, même si ses termes ne se rapprochent pas d’un réel fixe.

Explication

Toute suite convergente est bornée sur l’ensemble de ses indices, ce qui constitue une propriété générale des suites ayant une limite finie. Être simplement bornée à partir d’un certain rang ne suffit pas à garantir la convergence, comme le montre une suite oscillante bornée.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Suites et limites.

Quel critère permet de vérifier qu’une suite est croissante ?

un+1≥unu_{n+1}\geq u_n pour tout n∈Nn\in\mathbb N.

Quelle condition définit la convergence d’une suite réelle vers ℓ\ell ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe N∈NN\in\mathbb N tel que ∣un−ℓ∣<ε|u_n-\ell|<\varepsilon pour tout n≥Nn\geq N.

Quelle propriété vérifie toute suite convergente ?

Elle est bornée.

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