Fiche de révision : Réseaux et régimes électriques

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées et opérations vectorielles
2. Champs et transformations intégrales
3. Lois fondamentales de l’électrostatique
4. Applications des champs électrostatiques
5. Champ et potentiel du dipôle
6. Superposition et distributions sphériques
7. Conducteurs en équilibre électrostatique
8. Capacités et méthodes électrostatiques
9. Énergie électrostatique des dipôles
10. Potentiel de Lennard-Jones et vibrations
11. Conductivité et propriétés des matériaux
12. Générateurs et lois de Kirchhoff
13. Récepteurs polarisés et non polarisés
14. Réponse transitoire des circuits
15. Régime sinusoïdal et impédance
16. Pont déphaseur et pont de Nernst
17. Filtre passe-bas RC
18. Filtre inductif en échelle

📖 1. Coordonnées et opérations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs est le scalaire $\vec V_1\cdot\vec V_2=V_1V_2\cos\alpha$, où $\alpha$ est l’angle entre eux.
• Produit vectoriel : Le produit vectoriel $\vec V_1\wedge\vec V_2$ est perpendiculaire au plan des deux vecteurs, orienté selon la règle du trièdre direct et de norme $V_1V_2|\sin\alpha|$.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé cartésien, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$ et sa longueur vérifie $OM^2=x^2+y^2+z^2$.

• En coordonnées cylindriques, $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$, avec $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$, et $d\overrightarrow{OM}=dr\vec e_r+r\,d\theta\vec e_\theta+dz\vec e_z$.

• En coordonnées sphériques, $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r$, avec $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$ et $z=r\cos\theta$.

📖 2. Champs et transformations intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Circulation : La circulation élémentaire d’un champ vectoriel $\vec V$ le long d’un déplacement $d\vec M$ est le scalaire $dC=\vec V\cdot d\vec M$ ; sur un trajet orienté, $C_{AB}=\int_A^B\vec V\cdot d\vec M$.
• Flux : Le flux élémentaire d’un champ vectoriel à travers une surface orientée est $d\Phi=\vec V\cdot\vec N\,dS$, où $\vec N$ est le vecteur unitaire normal à la surface.
• Gradient : Le gradient d’une fonction scalaire $f$ est le vecteur défini par $df=\overrightarrow{\mathrm{grad}}f\cdot d\vec M$ ; il est normal aux surfaces de niveau et orienté vers les valeurs croissantes de $f$.
• Divergence : La divergence d’un champ vectoriel est le scalaire $\mathrm{div}\,\vec V=\vec\nabla\cdot\vec V$, qui représente le flux sortant par unité de volume.
• Rotationnel : Le rotationnel d’un champ vectoriel est le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec V=\vec\nabla\wedge\vec V$, associé à la circulation du champ autour d’un contour fermé.

★ À maîtriser

• La circulation d’un gradient entre $A$ et $B$ vaut $\int_A^B\overrightarrow{\mathrm{grad}}f\cdot d\vec M=f(B)-f(A)$, indépendamment du chemin, et sa circulation sur un contour fermé est nulle.

📐 Formule - Le théorème de Green-Ostrogradsky relie le flux d’un champ à travers une surface fermée au volume qu’elle délimite : $\oiint_S\vec V\cdot d\vec S=\iiint_\tau\mathrm{div}\,\vec V\,d\tau$.

📐 Formule - Le théorème de Stokes relie la circulation d’un champ sur un contour fermé au flux de son rotationnel à travers une surface appuyée sur ce contour : $\oint_C\vec V\cdot d\vec M=\iint_S\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec V\cdot d\vec S$.

Compléments

• L’angle solide élémentaire sous lequel une surface $dS$ est vue depuis un point à distance $r$ vaut $d\Omega=\frac{dS\cos\alpha}{r^2}$ ; l’espace entier correspond à $4\pi$ stéradians et un demi-espace à $2\pi$ stéradians.

💡 Astuce mémo

La divergence relie le flux fermé ; le rotationnel relie la circulation fermée.

📖 3. Lois fondamentales de l’électrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de charge : La densité de charge linéique, surfacique ou volumique est respectivement $\lambda=\frac{dq}{dl}$, $\sigma=\frac{dq}{dS}$ ou $\rho=\frac{dq}{d\tau}$.

★ À maîtriser

• La charge électrique s’exprime en coulombs, existe sous deux signes dont les charges identiques se repoussent et les charges opposées s’attirent, et toute charge est un multiple de la charge élémentaire $e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C$.

📐 Formule - La loi de Coulomb donne la force exercée par une charge $q$ sur une charge $q'$ séparée d’une distance $r$ : $\vec F=K\frac{qq'}{r^2}\vec u$, avec $K=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\cdot10^9$ en unités SI.

📐 Formule - Le champ et le potentiel créés par une charge ponctuelle $q$ à distance $r$ vérifient $\vec E=K\frac{q}{r^2}\vec u$ et $V=K\frac{q}{r}+C$, avec $\vec E=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}V$.

📐 Formule - Pour un système de charges ponctuelles, le champ et le potentiel résultants s’obtiennent par superposition : $\vec E(M)=K\sum_i\frac{q_i}{r_i^2}\vec u_i$ et $V(M)=K\sum_i\frac{q_i}{r_i}$.

📐 Formule - Une charge $q$ placée dans un champ $\vec E$ subit la force $\vec F=q\vec E$ et possède l’énergie potentielle $E_p=qV$, avec $\vec F=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}E_p$.

📐 Formule - La circulation du champ électrique de $A$ à $B$ vaut la différence de potentiel initiale et finale $\int_A^B\vec E\cdot d\vec M=V_A-V_B$ et celle sur un parcours fermé est nulle.

Compléments

• L’électron porte la charge $-1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C$ et a une masse de $9{,}1\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$, tandis que le proton porte la charge $+1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C$ et a une masse de $1{,}67\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}$.

• Le champ électrostatique vérifie localement $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=0$ et, sous forme intégrale, $\oint_C\vec E\cdot d\vec M=0$ sur tout contour fermé.

📖 4. Applications des champs électrostatiques

★ À maîtriser

• Le potentiel créé à l’extérieur par une sphère uniformément chargée en surface est $V_M=K\frac{Q}{r}$, comme si la charge totale Q était concentrée au centre O.

• Le potentiel créé à l’extérieur par une sphère uniformément chargée en volume est $V_M=K\frac{Q}{r}$, comme si toute la charge Q était concentrée au centre O.

Compléments

• Dans un atome d’hydrogène, la force électrostatique entre l’électron et le proton vaut $8{,}1\cdot10^{-8}\,\mathrm N$ et la force gravitationnelle vaut $3{,}7\cdot10^{-47}\,\mathrm N$ ; la première est environ $2\cdot10^{39}$ fois plus grande.

📐 Formule - Sur l’axe d’un fil circulaire de rayon $R$ et de densité linéique uniforme $\lambda$, à distance axiale $z$ du centre, le potentiel et le champ sont $V(z)=\frac{\lambda R}{2\varepsilon_0\sqrt{R^2+z^2}}$ et $\vec E(z)=\frac{\lambda Rz}{2\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\vec e_z$.

📐 Formule - Sur l’axe d’un disque de rayon $R$ portant une densité surfacique uniforme $\sigma$, le potentiel à la coordonnée $z$ vaut $V(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{R^2+z^2}-|z|\right)$.

📐 Formule - Sur l’axe d’un disque uniformément chargé, le champ électrique vaut $\vec E=\frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{|z|}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\vec e_z$ et est discontinu au passage par $z=0$.

• Lorsque le rayon $R$ du disque chargé tend vers l’infini, le champ tend vers celui d’un plan uniformément chargé : $\vec E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac{z}{|z|}\vec e_z$.

• Pour une sphère de rayon R chargée uniformément en surface avec une densité surfacique σ, la charge totale est $Q=4\pi R^2\sigma$.

• Pour une sphère de rayon R chargée uniformément en volume avec une densité volumique ρ, la charge totale est $Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$.

📖 5. Champ et potentiel du dipôle

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment dipolaire : Le moment dipolaire d’un système de deux charges −q et +q séparées par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $\vec p=q\overrightarrow{AB}$, orienté de la charge négative vers la charge positive.

★ À maîtriser

📐 Formule - À grande distance d’un dipôle, son potentiel est $V_M=K\frac{\vec p\cdot\vec u_r}{r^2}=K\frac{p\cos\theta}{r^2}$.

📐 Formule - À grande distance d’un dipôle, les composantes du champ sont $E_r=\frac{2Kp\cos\theta}{r^3}$ et $E_\theta=\frac{Kp\sin\theta}{r^3}$.

📌 Dans un champ électrique uniforme, la force résultante sur un dipôle est nulle, mais le couple résultant vaut $\vec\Gamma=\vec p\wedge\vec E$ et tend à aligner le dipôle parallèlement au champ.

📐 Formule - L’énergie potentielle d’un dipôle dans un champ électrique uniforme est $E_p=-\vec p\cdot\vec E=-pE\cos\theta$ ; elle est minimale lorsque le dipôle est parallèle au champ.

Compléments

• Les expressions cartésiennes du potentiel et du champ d’un dipôle sont $V=K\frac{px}{(x^2+y^2)^{3/2}}$, $E_x=Kp\frac{3\cos^2\theta-1}{r^3}$ et $E_y=Kp\frac{3\sin\theta\cos\theta}{r^3}$.

📌 À grande distance, le potentiel dipolaire décroît en 1/r² et le champ en 1/r³, tandis que le potentiel d’une charge ponctuelle décroît en 1/r et son champ en 1/r².

• Dans un champ électrique non uniforme, les forces sur les deux charges du dipôle ne sont plus égales et opposées, ce qui produit une force résultante et un mouvement de translation du dipôle.

📐 Formule - Dans un champ non uniforme, la force résultante sur le dipôle est $\vec F=\vec\nabla(\vec p\cdot\vec E)$.

💡 Astuce mémo

Le potentiel décroît en 1/r² et le champ en 1/r³, plus vite que pour une charge ponctuelle.

📖 6. Superposition et distributions sphériques

★ À maîtriser

• À l’extérieur d’une sphère chargée uniformément en surface ou en volume, le champ est celui d’une charge totale Q placée au centre : $E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\,\mathbf e_r$.

Compléments

• Pour deux sphères concentriques de rayons R et R/4 portant respectivement les densités volumiques ρ₀ et −ρ₀, le champ résultant s’obtient en additionnant les deux champs : il est nul pour r<R/4, vaut $\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\left(r-\frac{R^3}{64r^2}\right)\mathbf e_r$ pour R/4<r<R, et vaut $\frac{21\rho_0R^3}{64\varepsilon_0r^2}\mathbf e_r$ pour r>R.

• Une sphère uniformément chargée de densité ρ₀ et de rayon R, superposée à une sphère de même centre et de rayon R/4 chargée avec la densité −ρ₀, crée un champ uniforme dans la région commune, égal à $\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\overrightarrow{O_1O_2}$ lorsque les centres sont O₁ et O₂.

• À l’intérieur d’une sphère uniformément chargée de densité volumique ρ, le champ radial vaut $\mathbf E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\mathbf e_r$.

• Pour une distribution sphérique de potentiel $V(r)=\frac{KA}{r}e^{-r/a}$, le champ est radial et vaut $\mathbf E(r)=\frac{KA}{r^2}\left(1+\frac{r}{a}\right)e^{-r/a}\mathbf e_r$.

• Pour ce potentiel, la charge enfermée dans une sphère de rayon r est $Q(r)=A\left(1+\frac{r}{a}\right)e^{-r/a}$, la charge totale est nulle et la densité volumique vaut $\rho(r)=-\frac{A}{4\pi a^2r}e^{-r/a}$.

• Pour une couche cylindrique de densité volumique ρ comprise entre R₁ et R₂, le champ est nul pour r<R₁, vaut $\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\left(r-\frac{R_1^2}{r}\right)\mathbf e_r$ pour R₁<r<R₂, et vaut $\frac{\rho(R_2^2-R_1^2)}{2\varepsilon_0r}\mathbf e_r$ pour r>R₂.

• Pour une sphère uniformément chargée de rayon R et de charge totale Q, le potentiel vaut $V(r)=\frac{KQ}{2R}\left(3-\frac{r^2}{R^2}\right)$ à l’intérieur et $V(r)=\frac{KQ}{r}$ à l’extérieur.

📖 7. Conducteurs en équilibre électrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Conducteur : Milieu où des charges libres peuvent se déplacer sous l’action d’un champ électrique.

★ À maîtriser

📌 Dans un système isolé, la charge électrique totale se conserve malgré les déplacements de charges entre ses conducteurs.

• Dans un conducteur à l’équilibre électrostatique, le champ électrique intérieur et la densité volumique de charge libre sont nuls, et le potentiel intérieur est constant.

• Dans un conducteur chargé à l’équilibre, les charges se répartissent sur sa surface et celle-ci est équipotentielle.

📌 Au voisinage de la surface d’un conducteur chargé à l’équilibre, le champ extérieur est normal à la surface et vaut $\mathbf E_{ext}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\mathbf N$, où N est la normale sortante.

• À charge donnée, la densité surfacique et le champ sont plus élevés lorsque le rayon de courbure du conducteur est plus petit, ce qui explique le pouvoir des pointes.

• Pour un élément de surface dS portant une densité σ, la pression électrostatique dirigée vers l’extérieur vaut $p=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2$.

📌 En influence partielle, les charges de deux éléments de surface correspondants se faisant face sont égales et opposées, mais seule une partie des lignes de champ rejoint le second conducteur.

• En influence totale, la charge de la surface interne du conducteur enveloppant vaut l’opposé de la charge du conducteur intérieur ; si l’enveloppant est initialement neutre, sa surface externe porte une charge égale à celle du conducteur intérieur.

Compléments

• Dans une cavité entièrement entourée par un conducteur en équilibre électrostatique, le champ est nul quelles que soient les conditions extérieures ; le conducteur constitue un écran électrostatique.

• Sur un conducteur sphérique chargé, le champ à la surface vaut $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}$, comme si toute la charge était placée au centre.

💡 Astuce mémo

Champ intérieur nul → charges libres uniquement en surface

📖 8. Capacités et méthodes électrostatiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Capacité d’un conducteur : La capacité d’un conducteur est le coefficient de proportionnalité C entre sa charge q et son potentiel V, défini par $q=CV$, et elle s’exprime en farads.

★ À maîtriser

📐 Formule - La capacité d’une sphère conductrice isolée de rayon R est $C=4\pi\varepsilon_0R$.

📐 Formule - Pour deux conducteurs en influence totale formant un condensateur, les charges sont opposées et la capacité vérifie $Q_1=C(V_1-V_2)$ et $Q_2=C(V_2-V_1)$.

📐 Formule - La capacité d’un condensateur plan d’aire S et d’écartement e vaut $C=\frac{\varepsilon_0S}{e}$.

📐 Formule - Pour des condensateurs en série, les inverses des capacités s’additionnent : $\frac{1}{C_{eq}}=\sum_i\frac{1}{C_i}$.

📐 Formule - Pour des condensateurs en parallèle, la capacité équivalente est la somme des capacités : $C_{eq}=\sum_i C_i$.

Compléments

📐 Formule - Pour un système de n conducteurs, les charges et les potentiels sont liés par $[Q_i]=[C_{ij}][V_j]$, où la matrice des coefficients d’influence est symétrique, ses termes diagonaux sont positifs et ses termes non diagonaux sont négatifs.

📐 Formule - La capacité d’un condensateur sphérique de rayons R₁ et R₂ vaut $C=4\pi\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}$.

📐 Formule - La capacité d’un condensateur cylindrique de hauteur h et de rayons R₁ et R₂ vaut $C=\frac{2\pi\varepsilon_0h}{\ln(R_2/R_1)}$.

• La résolution générale d’un problème électrostatique dans le vide entourant des conducteurs repose sur l’équation de Laplace, les conditions aux limites et le théorème d’unicité ; les symétries permettent aussi d’utiliser le théorème de Gauss et la superposition.

• La méthode des images remplace un conducteur par une distribution fictive de charges qui impose les mêmes conditions de potentiel dans la région étudiée, afin de simplifier le calcul du champ et des forces.

📖 9. Énergie électrostatique des dipôles

★ À maîtriser

📐 Formule - Le champ créé par un dipôle de moment $P_1$ à une distance $r$ vaut $E=\frac{2KP_1}{r^3}\,\mathbf e_r$ sur son axe dans le sens du dipôle, $E=-\frac{2KP_1}{r^3}\,\mathbf e_r$ sur l’axe opposé et $E=\frac{KP_1}{r^3}\,\mathbf e_\theta$ dans le plan équatorial.

• Pour un condensateur plan isolé dont l’écartement passe de $x$ à $2x$, la capacité est divisée par deux, la charge reste constante, la tension double et l’énergie finale double.

• À tension constante, doubler l’écartement des plaques divise par deux la capacité et la charge, et divise par deux l’énergie stockée.

Compléments

📐 Formule - L’énergie potentielle d’un dipôle $P_2$ placé dans le champ créé au point équatorial par $P_1$, avec des moments opposés, est $E_p=-\frac{KP_1P_2}{\ell^3}$.

📐 Formule - Dans une chaîne infinie de dipôles parallèles orientés dans le même sens, le champ total au niveau d’un dipôle vaut $E_T=4{,}8\frac{KP}{d^3}$ et son énergie potentielle vaut $E_p=-4{,}8\frac{KP^2}{d^3}$.

• Lors d’un écartement quasi statique à tension constante, le travail de l’opérateur est compensé par l’énergie fournie par le générateur, et le bilan vérifie $W'+E_g=\Delta E_p$.

📖 10. Potentiel de Lennard-Jones et vibrations

★ À maîtriser

📐 Formule - Le potentiel de Lennard-Jones $E_p(x)=-\frac{a}{x^6}+\frac{b}{x^{12}}$ possède un équilibre stable en $x_0=\left(\frac{2b}{a}\right)^{1/6}$, où $E_p(x_0)=-\frac{a^2}{4b}$.

📌 L’énergie de dissociation est l’opposé de l’énergie potentielle à l’équilibre stable, soit $E_D=-E_p(x_0)=\frac{a^2}{4b}$.

📐 Formule - La masse réduite $\mu$ vérifie $\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$, et le mouvement relatif des deux atomes vérifie $\ddot{x}=-\frac{k}{\mu}(x-x_0)$.

📐 Formule - Au voisinage de l’équilibre, la force de liaison est une force de rappel $F_x=-k(x-x_0)$ avec $k=\frac{72E_D}{x_0^2}$; pour l’iodure d’hydrogène, $k=1\,338\,\mathrm{N\,m^{-1}}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une molécule d’iodure d’hydrogène avec $E_D=5\cdot10^{-19}\,\mathrm J$ et $x_0=1{,}64\,\text{Å}$, les constantes valent $a=1{,}95\cdot10^{-77}$ en unités SI et $b=1{,}89\cdot10^{-136}$ en unités SI.

📐 Formule - La pulsation propre des vibrations moléculaires est $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{\mu}}$ et leur fréquence est $\nu_0=\frac{\omega_0}{2\pi}$.

📐 Formule - Dans une couche électrolytique entre deux électrodes cylindriques coaxiales de hauteur h, la résistance entre les rayons r1 et r2 est $R=\frac{\rho}{2\pi h}\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$.

📐 Formule - Pour une différence de potentiel V1−V2, la densité de courant au voisinage de l’électrode centrale est $j_1=\frac{V_1-V_2}{\rho r_1\ln(r_2/r_1)}$.

📐 Formule - À r2 fixé, la densité de courant j1 est minimale lorsque $r_1=\frac{r_2}{e}$.

• Avec r2=5 cm, la densité de courant minimale est obtenue pour r1=1,84 cm et vaut 16,31 A·m−2.

📖 11. Conductivité et propriétés des matériaux

★ À maîtriser

📐 Formule - La résistivité est l’inverse de la conductivité, soit $\rho=\frac{1}{\sigma}$.

📐 Formule - Pour un conducteur cylindrique de longueur ℓ et de section S, la résistance vaut $R=\frac{\ell}{\sigma S}$.

📐 Formule - La loi d’Ohm macroscopique s’écrit $V_A-V_B=RI$.

📐 Formule - Pour des résistances en série, la résistance équivalente vaut $R=\sum_k R_k$.

📐 Formule - Pour des résistances en parallèle, la résistance équivalente vérifie $\frac{1}{R}=\sum_k\frac{1}{R_k}$.

Compléments

📐 Formule - La conductivité d’un matériau est $\sigma=\frac{nq^2\tau}{m}$ dans le modèle de dérive avec collisions.

• Pour le cuivre à 20 °C, la résistivité vaut 1,72·10−8 Ω·m et la conductivité vaut 5,8·10^7 Ω−1·m−1.

• Pour le silicium à 20 °C, les mobilités des électrons et des trous valent respectivement −1 700 et 250 cm²·V−1·s−1.

📐 Formule - Dans les conducteurs, la résistivité varie avec la température selon $\rho=\rho_0(1+\alpha t)$, avec α≈1/273 °C−1 et ρ0 la résistivité à 0 °C.

• À T=0 K, la conductivité des semi-conducteurs intrinsèques est nulle, tandis que celle des supraconducteurs devient infinie à très basse température, notamment pour le plomb sous 7 K.

📖 12. Générateurs et lois de Kirchhoff

🔑 Notions clés & Définitions

• Force électromotrice : La force électromotrice e d’un générateur est la circulation du champ électromoteur dans le générateur et elle vaut la différence de potentiel à ses bornes en circuit ouvert.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un générateur de résistance interne r alimentant une résistance R, $e=(R+r)I$ et $V_A-V_B=RI=e-rI$.

📌 À un nœud, la somme algébrique des courants est nulle, les courants arrivant et partant étant affectés de signes opposés.

📌 Dans une maille, la somme algébrique des forces électromotrices moins la somme algébrique des produits résistance-courant est nulle.

Compléments

📐 Formule - Pour un tronçon contenant un générateur, la convention indiquée donne $V_A-V_B=rI-e$.

📐 Formule - Pour un tronçon contenant un récepteur, la convention indiquée donne $V_A-V_B=rI+e'$.

📌 Un générateur dont le courant réel sort par le pôle négatif se comporte comme un récepteur et se charge.

📖 13. Récepteurs polarisés et non polarisés

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance dissipée par unité de volume dans un conducteur vérifie $p=\frac{j^2}{\sigma}=\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}=\sigma E^2$.

📐 Formule - Pour un conducteur de résistance R traversé par un courant I, la puissance dissipée par effet Joule vaut $P=(V_A-V_B)I=RI^2$.

• Pour le récepteur polarisé de la figure 1, les lois de Kirchhoff donnent $I_3=\frac{30-26E'}{472}$ ; pour $E'=2\,\mathrm{V}$, $I_3<0$ et le récepteur joue le rôle de générateur.

• Pour le récepteur non polarisé, la seule solution acceptable est $I_3=0$ : la figure 1 permet alors une polarisation partielle à l'équilibre, tandis que la figure 2 ne satisfait pas cette condition.

Compléments

• Pour le récepteur polarisé de la figure 2, les lois de Kirchhoff donnent $I_3=\frac{30+26E'}{472}$ ; pour $E'=2\,\mathrm{V}$, le courant réel est opposé au sens indiqué et le récepteur se comporte comme un générateur.

📐 Formule - À l’équilibre du récepteur non polarisé, la force électromotrice de polarisation vaut $E'_f=\frac{30}{26}=1{,}15\,\mathrm{V}$.

📐 Formule - À l’équilibre, le courant commun vérifie $26I=10$, donc $I=0{,}385\,\mathrm{A}$.

💡 Astuce mémo

Récepteur polarisé : le sens est imposé par le montage ; non polarisé : la polarisation doit produire un courant dans le sens choisi.

📖 14. Réponse transitoire des circuits

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrocinétique : Une portion de circuit comportant deux bornes, par lesquelles entre ou sort le courant.
• Caractéristique du dipôle : Le graphe de la tension à ses bornes en fonction de l’intensité qui le traverse, ou le graphe de l’intensité en fonction de la tension.

★ À maîtriser

📐 Formule - Avec la convention récepteur, la puissance reçue par un dipôle vaut $P=ui$.

📐 Formule - Avec la convention récepteur, un condensateur vérifie $u=\frac{q}{C}$ et $i=\frac{dq}{dt}$.

📐 Formule - Pour un circuit RL soumis à un échelon de tension E, la constante de temps vaut $\tau=\frac{L}{R}$ et le courant est $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$.

📐 Formule - Pour la charge d’un circuit RC, $\tau=RC$, $u(t)=E(1-e^{-t/\tau})$ et $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$.

📐 Formule - Pour un circuit RLC en décharge, la tension vérifie $\frac{d^2u}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{du}{dt}+\frac{u}{LC}=0$.

📌 En décharge RLC, le régime oscillatoire correspond à $Q>\frac12$, le régime critique à $Q=\frac12$ et le régime hypercritique à $Q<\frac12$.

Compléments

📐 Formule - Avec la convention récepteur, une inductance vérifie $u=L\frac{di}{dt}$ et son inductance s’exprime en henry (H).

• Dans un circuit RL, le courant atteint sa valeur continue à environ 0,7 % près au bout de $5\tau$.

📐 Formule - Pour la décharge d’un condensateur initialement à la tension E dans une résistance R, $u(t)=Ee^{-t/\tau}$ et le courant a pour valeur algébrique $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$ selon les conventions de la figure.

📐 Formule - La pulsation propre d’un circuit RLC est $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et son facteur de qualité est $Q=\frac{L\omega_0}{R}$.

💡 Astuce mémo

Dans un circuit RL, le courant croît vers sa valeur continue ; dans un RC, la tension de charge croît et la décharge décroît.

📖 15. Régime sinusoïdal et impédance

★ À maîtriser

• La représentation complexe simplifie les opérations linéaires sur les fonctions sinusoïdales, mais ne s’applique pas aux calculs non linéaires comme la puissance instantanée.

📐 Formule - Pour deux oscillations de même fréquence, leurs amplitudes complexes s’additionnent selon $\widetilde A=\widetilde A_1+\widetilde A_2$.

📐 Formule - L’impédance complexe d’un circuit RLC série vaut $\widetilde Z=R+j\left(L\omega-\frac{1}{C\omega}\right)$ et la loi d’Ohm complexe s’écrit $\widetilde U=\widetilde Z\widetilde I$.

📐 Formule - À la résonance d’intensité d’un circuit RLC série, $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$, l’impédance vaut R et le courant est en phase avec la tension.

Compléments

• La dérivation de $e^{i(\omega t+\varphi)}$ revient à multiplier par $i\omega$, et son intégration à diviser par $i\omega$.

📐 Formule - Pour deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence, la moyenne de leur produit vaut $\langle fg\rangle=\frac12\operatorname{Re}(\widetilde F\widetilde G^{*})$.

📐 Formule - L’admittance complexe est l’inverse de l’impédance complexe : $\widetilde Y=\frac{1}{\widetilde Z}$.

📐 Formule - À la résonance, le rapport de surtension du condensateur vaut $\frac{U_C}{U_m}=Q=\frac{L\omega_0}{R}$.

📖 16. Pont déphaseur et pont de Nernst

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de superposition : Le courant dans un dipôle linéaire est la somme algébrique des courants produits séparément par chaque générateur, les autres générateurs étant remplacés par leurs impédances internes.
• Théorème de Millmann : Pour des branches passives linéaires arrivant à un nœud N, le potentiel complexe de N vaut $\widetilde V_N=\frac{\sum_k\widetilde Y_k\widetilde V_k}{\sum_k\widetilde Y_k}$.
• Théorème de Thévenin : Le courant dans une branche AB d’un réseau linéaire est celui qu’on obtiendrait avec une source de tension égale à la tension à vide entre A et B, en série avec l’impédance équivalente vue entre A et B.
• Théorème de Norton : Le courant dans une branche AB d’un réseau linéaire est celui qu’on obtiendrait avec une source de courant égale au courant de court-circuit entre A et B, en parallèle avec l’impédance équivalente vue entre A et B.

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance moyenne d’un dipôle en régime sinusoïdal vaut $P=\frac12U_mI_m\cos\varphi=UI\cos\varphi$, où U et I sont les valeurs efficaces.

• Dans le dispositif étudié, la composante de sortie de pulsation 600 rad·s⁻¹ a une amplitude égale à 30 % de celle de la composante fondamentale, ce qui caractérise un filtre passe-bas.

📐 Formule - Pour le pont déphaseur, l’égalité des amplitudes d’entrée et de sortie est obtenue lorsque $RC=R_1C_1$.

📐 Formule - Pour le pont déphaseur, le déphasage vérifie $\varphi=2\arctan(RC\omega)$.

📐 Formule - À l’équilibre du pont de Nernst, les impédances vérifient $\widetilde Z_1\widetilde Z=\widetilde Z_2\widetilde Z_3$.

Compléments

📐 Formule - Les valeurs efficaces d’une tension et d’un courant sinusoïdaux sont $U=\frac{U_m}{\sqrt2}$ et $I=\frac{I_m}{\sqrt2}$.

📐 Formule - Lorsque $RC=R_1C_1$, le rapport des tensions complexes du pont déphaseur est $\frac{\widetilde U}{\widetilde V}=\frac{1-jRC\omega}{1+jRC\omega}$.

📐 Formule - Lorsque $R=1/(C\omega)$, le déphasage du pont déphaseur vaut $\pi/2$.

📐 Formule - Pour les valeurs du pont de Nernst données, $R=680\,\mathrm{k\Omega}$ et $C=9{,}0\times10^{-8}\,\mathrm F$.

💡 Astuce mémo

Le pont déphaseur règle une phase ; le pont de Nernst équilibre des impédances.

📖 17. Filtre passe-bas RC

★ À maîtriser

📐 Formule - La fonction de transfert du filtre RC vaut $H(\omega)=\frac{\widetilde u_2}{\widetilde u_1}=\frac{1}{1+jRC\omega}$, de module $|H(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}$ et de phase $-\arctan(RC\omega)$.

📐 Formule - La pulsation de coupure du filtre RC est $\omega_c=1/(RC)$, et son module vaut alors $1/\sqrt2$.

• Le filtre RC atténue les hautes fréquences et transforme ainsi le signal en créneau en un signal de sortie plus proche d’une sinusoïde de pulsation $\omega_c$.

Compléments

📐 Formule - Pour l’exemple numérique du circuit, l’impédance de la bobine est $Z_L=10\,000\,\Omega$ et celle du condensateur est $Z_C=5\,000\,\Omega$.

• Dans l’exemple traité par superposition, la tension résultante vaut $u(t)=30\cos(1000\pi t+\pi)\,\mathrm V$ et le courant vaut $i(t)=3\cos(1000\pi t+\pi)\,\mathrm{mA}$.

📐 Formule - Dans l’exemple traité par équivalent de Thévenin, l’impédance équivalente entre A et B est $\widetilde Z=-10^4j\,\Omega$.

📐 Formule - Dans le circuit étudié, l’admittance équivalente entre A et B vaut $\widetilde Y=10^{-4}j\,\mathrm S$.

• Pour $C=0{,}1\,\mu\mathrm F$ et $f_c=1000\,\mathrm{Hz}$, la résistance vaut $R=1{,}6\times10^3\,\Omega$.

• La phase du filtre RC décroît de 0 à $-\pi/2$ et vaut $-\pi/4$ à la pulsation de coupure.

• Pour les harmoniques de pulsations $3\omega_c$, $5\omega_c$ et $7\omega_c$, les amplitudes relatives au fondamental sont respectivement 45 %, 28 % et 20 %.

💡 Astuce mémo

La fréquence augmente → l’amplitude transmise diminue.

📖 18. Filtre inductif en échelle

★ À maîtriser

📐 Formule - La pulsation de coupure du filtre en échelle inductif-capacitif est $\omega_c=2/\sqrt{LC}$.

📐 Formule - Pour $\omega<\omega_c$, le rapport des amplitudes de deux potentiels successifs est égal à 1, donc $U_n/U_0=1$.

📌 Pour $\omega>\omega_c$, seule la solution donnant un rapport d’amplitudes inférieur à 1 est retenue, car les éléments passifs ne peuvent fournir l’énergie nécessaire à une amplitude croissant avec le rang.

📐 Formule - Pour $\omega>\omega_c$, le rapport des amplitudes après n éléments vaut $\frac{U_n}{U_0}=\left(\frac{1-\sqrt{1-\omega_c^2/\omega^2}}{1+\sqrt{1-\omega_c^2/\omega^2}}\right)^n$.

Compléments

• Pour $f_c=2{,}4\,\mathrm{kHz}$ et $f=3\,\mathrm{kHz}$, le rapport d’amplitude vaut 0,25 après un élément et $10^{-3}$ après cinq éléments.

💡 Astuce mémo

Sous la coupure, le module transmis reste 1 ; au-dessus, il décroît avec le nombre d’éléments.

📊 Tableaux de synthèse

Écartement d’un condensateur plan

Associations de résistances