Fiche de révision : Révisions de mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Développements et identités remarquables
2. Factorisations algébriques
3. Équations et produit nul
4. Calculs de fonctions
5. Lecture graphique des fonctions
6. Probabilités et tableaux
7. Fractions et calculs numériques
8. Puissances et notation scientifique
9. Comparaison et ordre de grandeur
10. Conversions et pourcentages

📖 1. Développements et identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Le développement de $(2x+0{,}5)^2$ est $4x^2+2x+0{,}25$.

• Le développement et la réduction de $(x+2)^2-(1-x)^2$ donnent $6x+3$.

💡 Astuce mémo

Les trois identités : carré d’une somme, carré d’une différence, différence de carrés

📖 2. Factorisations algébriques

★ À maîtriser

• Pour factoriser une expression, on recherche notamment un facteur commun ou une identité remarquable afin de l’écrire comme un produit.

Compléments

• La différence $9x^2-25$ se factorise en $(3x-5)(3x+5)$ grâce à une différence de deux carrés.

• Pour tout réel x, l’identité $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ est obtenue en faisant apparaître une différence de deux carrés.

📖 3. Équations et produit nul

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du premier degré, on regroupe les termes en x d’un côté, les constantes de l’autre, puis on divise par le coefficient non nul de x.

📌 Si $AB=0$, alors $A=0$ ou $B=0$ ; ainsi, l’équation $(3x-2)(x+7)=0$ a pour solutions $x=\frac{2}{3}$ et $x=-7$.

📌 Dans l’équation $(2x-1)(x+3)=(2x-1)(3x-7)$, il ne faut pas diviser directement par $2x-1$ sans vérifier qu’il est non nul ; il faut d’abord regrouper tous les termes dans un même membre.

Compléments

📌 Pour $mx-3=2x+5$, la discussion dépend de la valeur de m, car le coefficient de x après regroupement peut être nul.

💡 Astuce mémo

Factoriser → appliquer le produit nul → obtenir les solutions

📖 4. Calculs de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’une fonction : Nombre f(x) obtenu en remplaçant x dans l’expression de f.
• Antécédent : Nombre x tel que f(x)=y.

★ À maîtriser

📌 La fonction $h(x)=\frac{2x-1}{x+3}$ est définie pour $x\neq -3$, car le dénominateur ne peut pas être nul.

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=2x-3$, on obtient $f(-1)=-5$, $f(0)=-3$ et $f(4)=5$ ; l’antécédent de 7 est 5.

📖 5. Lecture graphique des fonctions

★ À maîtriser

• Pour lire graphiquement une image, on part de l’abscisse x et on lit l’ordonnée du point de la courbe ; pour lire un antécédent, on part de l’ordonnée y et on lit les abscisses correspondantes.

• Résoudre graphiquement $f(x)=0$ revient à repérer les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses, tandis que résoudre $f(x)\geq 3$ revient à repérer les intervalles où la courbe est au-dessus de la droite d’ordonnée 3.

Compléments

• La fonction $f(x)=-x^2+2x+3$ est définie sur l’intervalle $[-2;4]$ et sa courbe est une parabole tournée vers le bas.

💡 Astuce mémo

Image : partir de x ; antécédent : partir de y

📖 6. Probabilités et tableaux

📝 Points essentiels

📌 La probabilité de l’événement contraire de A est $P(\overline A)=1-P(A)$ ; par exemple, si $P(A)=\frac{9}{10}$, alors $P(\overline A)=\frac{1}{10}$.

📌 Dans une expérience comportant toutes les issues possibles, la somme des probabilités des issues vaut 1.

• Dans le tableau de 400 personnes, la probabilité qu’une personne ne pratique pas de sport sachant qu’elle a entre 25 et 45 ans est $\frac{60}{150}=\frac{2}{5}$.

📖 7. Fractions et calculs numériques

★ À maîtriser

📐 Formule — Le taux d’évolution d’une valeur initiale $V_i$ vers une valeur finale $V_f$ est $\frac{V_f-V_i}{V_i}$.

• Une fraction se simplifie en divisant son numérateur et son dénominateur par un même facteur non nul, et une division par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Compléments

• L’inverse du carré de la somme de -9 et 3 est $\frac{1}{(-9+3)^2}=\frac{1}{36}$.

📖 8. Puissances et notation scientifique

★ À maîtriser

📐 Formule — Les lois des puissances sont $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ et $(a^n)^p=a^{np}$.

📐 Formule — Pour tout a non nul, $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

📐 Formule — La puissance d’un produit et la puissance d’un quotient vérifient $(ab)^n=a^nb^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

💡 Astuce mémo

Même base : multiplier additionne, diviser soustrait, puissance multiplie

📖 9. Comparaison et ordre de grandeur

📝 Points essentiels

📌 Pour comparer deux nombres a et b, on peut étudier le signe de leur différence : $a-b<0$ équivaut à $a<b$, $a-b=0$ à $a=b$ et $a-b>0$ à $a>b$.

📌 Si $0<a<b$, alors $a^2<b^2$, $a^3<b^3$ et $\frac1a>\frac1b$.

• Pour estimer un ordre de grandeur, on arrondit les nombres à une puissance de 10 proche, puis on effectue le calcul avec ces valeurs arrondies.

💡 Astuce mémo

Différence négative : a < b ; quotient inférieur à 1 : a < b

📖 10. Conversions et pourcentages

★ À maîtriser

📌 Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par $1+\frac{t}{100}$, tandis que la diminuer de t % revient à la multiplier par $1-\frac{t}{100}$.

📌 Les unités de longueur se convertissent selon km, hm, dam, m, dm, cm, mm ; les unités de surface suivent la même échelle avec un facteur 100 par colonne, et les unités de volume avec un facteur 1000 par colonne.

Compléments

• Une augmentation de 5 % correspond au coefficient multiplicateur 1,05, tandis qu’une diminution de 5 % correspond au coefficient multiplicateur 0,95.

• Pour convertir une vitesse de km/h en m/s, on la divise par 3,6 ; ainsi 72 km/h correspondent à 20 m/s.