Fiche de révision : Théorème de Thalès

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Thalès
2. Triangles semblables et rapports
3. Réciproque et démonstration

📖 1. Théorème de Thalès

📝 Points essentiels

📌 Dans un triangle ABC, si M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN) est parallèle à (BC), alors les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

• Pour calculer une longueur avec le théorème de Thalès, on écrit une égalité de rapports puis on utilise l’égalité des produits en croix.

💡 Astuce mémo

Alignement, parallélisme, puis rapports proportionnels

📖 2. Triangles semblables et rapports

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Triangles qui ont les mêmes mesures d’angles.

★ À maîtriser

📌 Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, alors ces deux triangles sont semblables, car la somme des angles d’un triangle vaut toujours 180°.

• Avec AM = 8 cm, AN = 3 cm et AC = 4,5 cm, le théorème de Thalès donne $AB=\frac{AM\times AC}{AN}=\frac{8\times4{,}5}{3}=12\ \text{cm}$.

Compléments

• Dans la configuration de Thalès, [AM] et [AB] sont des côtés homologues, de même que [AN] et [AC].

• Si AB = 2 × AM, alors ABC est un agrandissement de AMN de rapport 2, tandis que AMN est une réduction de ABC de rapport 1/2.

💡 Astuce mémo

Agrandissement contre réduction : rapport supérieur ou inférieur à 1

📖 3. Réciproque et démonstration

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle ABC, si M appartient à [AB], N appartient à [AC] et $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

• Pour démontrer que (MN) est parallèle à (BC), on vérifie les alignements, on calcule les rapports correspondants, puis on applique la réciproque de Thalès.

• Avec AM = 4 cm, AB = 6 cm, AN = 8 cm et AC = 12 cm, on obtient $\frac{AM}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$, donc (MN) et (BC) sont parallèles.

Compléments

📌 Pour appliquer la réciproque de Thalès, on peut aussi utiliser $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ ou $\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

💡 Astuce mémo

Rapports égaux → droites parallèles

📊 Tableaux de synthèse

Théorème direct et réciproque