QCM : Séries numériques à termes positifs (11 questions)

Question 1

1. Pour une suite de termes $(u_n)$ , quelle expression donne la somme partielle d’indice $m$ de la série associée ?

S_m=u_m

S_m=\sum_{k=0}^{m}u_k

S_m=\sum_{k=1}^{m}u_k

S_m=\sum_{k=0}^{m-1}u_k

Explication

La somme partielle d’indice $m$ additionne les termes de $u_0$ à $u_m$ , bornes comprises. La réponse $u_m$ confond somme partielle et terme général, tandis que les autres expressions changent l’indice de départ ou la borne supérieure.

Answer

$$S_m=\sum_{k=0}^{m}u_k$$

Question 2

2. Une série a pour terme général $u_n=\frac{n}{n+1}$ . Que peut-on conclure sur sa convergence à partir du comportement de $u_n$ ?

Elle diverge, car

u_n

ne tend pas vers zéro.

Elle converge, car

u_n

reste inférieur à un.

On ne peut rien conclure, car les termes sont positifs.

Elle converge, car ses termes tendent vers un nombre fini.

Explication

La convergence d’une série impose que son terme général tende vers zéro ; ici, $u_n\to1$ , donc la série diverge. Le fait que les termes soient bornés ou positifs ne remplace pas cette condition nécessaire.

Answer

Elle diverge, car $$u_n$$ ne tend pas vers zéro.

Question 3

3. Pour quelle valeur du paramètre $q$ la série géométrique $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n$ converge-t-elle ?

Pour

q>0

.

Pour

q<1

.

Pour

|q|<1

.

Pour

q>1

.

Explication

Une série géométrique converge exactement lorsque le rapport vérifie $|q|<1$ . La condition $q<1$ omet les valeurs négatives de grande valeur absolue, et la positivité de $q$ ou la condition $q>1$ ne caractérisent pas la convergence.

Answer

Pour $$|q|<1$$.

Question 4

4. Pour quel domaine de $\alpha$ la série $\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^\alpha}$ converge-t-elle ?

Pour

\alpha<1

.

Pour

\alpha>1

.

Pour

|\alpha|<1

.

Pour

\alpha\ge1

.

Explication

La série de Riemann converge si et seulement si son exposant est strictement supérieur à 1. Le cas limite $\alpha=1$ diverge, et le critère ne repose pas sur la valeur absolue de l’exposant.

Answer

Pour $$\alpha>1$$.

Question 5

5. Qu’est-ce qui caractérise une série à termes positifs ?

La série est convergente dès que ses termes décroissent.

Chaque somme partielle de la série est majorée.

Chaque terme de la série est supérieur ou égal à zéro.

Le terme général de la série tend vers zéro.

Explication

Une série à termes positifs est définie par la condition que chacun de ses termes vérifie $u_n\ge0$ . Des sommes partielles majorées caractérisent la convergence dans ce contexte, mais ne définissent pas la positivité des termes.

Answer

Chaque terme de la série est supérieur ou égal à zéro.

Question 6

6. Lorsque $\varepsilon_n\to0$ , à quoi est équivalent $1-\cos(\varepsilon_n)$ ?

À

\frac{\varepsilon_n^2}{2}

À

\varepsilon_n

À

\frac{\varepsilon_n}{2}

À

\varepsilon_n^3

Explication

Au voisinage de zéro, la différence $1-\cos(\varepsilon_n)$ est équivalente à $\frac{\varepsilon_n^2}{2}$ . L’équivalence à $\varepsilon_n$ correspond plutôt à certaines fonctions comme $\sin(\varepsilon_n)$ .

Answer

À $$\frac{\varepsilon_n^2}{2}$$

Question 7

7. Quel est le rôle du critère de comparaison asymptotique fondé sur l’équivalence de deux suites non négatives ?

Comparer les sommes des séries lorsque les termes sont équivalents.

Déterminer la limite du quotient des sommes partielles.

Garantir la convergence dès que les termes tendent vers zéro.

Établir que les séries associées ont la même nature.

Explication

Des termes non négatifs équivalents donnent des séries qui convergent ou divergent ensemble. La comparaison porte sur la nature des séries, tandis que l’équivalence ne permet pas de conclure que leurs sommes sont égales.

Answer

Établir que les séries associées ont la même nature.

Question 8

8. Quelle différence distingue le critère pratique de Riemann appliqué avec $\alpha>1$ de son application avec $\alpha\le1$ ?

Avec

\alpha>1

, une limite strictement positive entraîne la divergence ; avec

\alpha\le1

, une limite finie entraîne la convergence.

Avec

\alpha>1

, le critère établit la divergence ; avec

\alpha\le1

, il établit la convergence dès que la limite existe.

Avec

\alpha>1

, une limite finie de

n^\alpha u_n

entraîne la convergence ; avec

\alpha\le1

, une limite strictement positive ou infinie entraîne la divergence.

Avec

\alpha>1

, le critère exige une limite nulle ; avec

\alpha\le1

, il exige une limite égale à l’infini.

Explication

Pour une suite non négative, une limite finie de $n^\alpha u_n$ suffit à conclure à la convergence lorsque $\alpha>1$ , tandis qu’une limite dans $]0,+\infty]$ entraîne la divergence lorsque $\alpha\le1$ . Une limite strictement positive ne conduit donc pas à la divergence dans le premier cas : avec un exposant supérieur à 1, elle reste compatible avec la convergence.

Answer

Avec $$\alpha>1$$, une limite finie de $$n^\alpha u_n$$ entraîne la convergence ; avec $$\alpha\le1$$, une limite strictement positive ou infinie entraîne la divergence.

Question 9

9. Pour une série à termes strictement positifs, le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers une limite supérieure à 1. Quelle conclusion donne le critère de d’Alembert ?

La série diverge, car ses termes finissent par croître au lieu de tendre vers zéro.

La série converge, car le rapport possède une limite finie.

La série converge si la racine n-ième de ses termes tend vers une valeur inférieure à 1.

Le critère ne permet pas de conclure, car la limite doit être égale à 1.

Explication

Une limite du rapport strictement supérieure à 1 implique que les termes ne tendent pas vers zéro, ce qui entraîne la divergence. La limite égale à 1, et non une limite supérieure à 1, est le cas où le critère de d’Alembert ne conclut pas.

Answer

La série diverge, car ses termes finissent par croître au lieu de tendre vers zéro.

Question 10

10. Pourquoi commence-t-on par examiner le terme général avant de choisir un critère de convergence pour une série ?

Cela permet de remplacer les termes par leurs valeurs absolues, même si leurs signes varient.

Cela permet de choisir d’emblée le critère de Riemann, quel que soit le terme général.

Cela permet de vérifier si le terme tend vers zéro, puis d’adapter le critère à sa forme.

Cela permet de déterminer directement la somme de la série avant toute comparaison.

Explication

Si le terme général ne tend pas vers zéro, la série diverge ; s’il tend vers zéro, sa forme aide à sélectionner un critère approprié. Choisir d’emblée le critère de Riemann ne convient pas à toutes les formes de termes, notamment aux expressions faisant intervenir des factorielles ou des puissances globales.

Answer

Cela permet de vérifier si le terme tend vers zéro, puis d’adapter le critère à sa forme.

Question 11

11. Une série converge vers une somme $S$ et l’on connaît sa somme partielle $S_n$ . Comment calcule-t-on son reste d’ordre $n$ ?

On calcule

S-S_n

, soit la somme des termes à partir de

n+1

.

On calcule

S-S_{n-1}

, soit la somme des termes à partir de

n

.

On calcule

S_n

, soit la somme des termes à partir de

n+1

.

On calcule

S_n-S

, soit la somme des termes jusqu’à

n

.

Explication

Le reste d’ordre $n$ mesure l’écart entre la somme totale et la somme partielle, donc $R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$ . La somme $S-S_{n-1}$ correspond plutôt au reste d’ordre $n-1$ , car elle inclut le terme $u_n$ .

Answer

On calcule $$S-S_n$$, soit la somme des termes à partir de $$n+1$$.

QCM : Séries numériques à termes positifs (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une suite de termes $(u_n)$ , quelle expression donne la somme partielle d’indice $m$ de la série associée ?

2. Une série a pour terme général $u_n=\frac{n}{n+1}$ . Que peut-on conclure sur sa convergence à partir du comportement de $u_n$ ?

3. Pour quelle valeur du paramètre $q$ la série géométrique $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n$ converge-t-elle ?

4. Pour quel domaine de $\alpha$ la série $\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^\alpha}$ converge-t-elle ?

5. Qu’est-ce qui caractérise une série à termes positifs ?

6. Lorsque $\varepsilon_n\to0$ , à quoi est équivalent $1-\cos(\varepsilon_n)$ ?

7. Quel est le rôle du critère de comparaison asymptotique fondé sur l’équivalence de deux suites non négatives ?

8. Quelle différence distingue le critère pratique de Riemann appliqué avec $\alpha>1$ de son application avec $\alpha\le1$ ?

9. Pour une série à termes strictement positifs, le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers une limite supérieure à 1. Quelle conclusion donne le critère de d’Alembert ?

10. Pourquoi commence-t-on par examiner le terme général avant de choisir un critère de convergence pour une série ?

11. Une série converge vers une somme $S$ et l’on connaît sa somme partielle $S_n$ . Comment calcule-t-on son reste d’ordre $n$ ?

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QCM : Séries numériques à termes positifs (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une suite de termes (un)(u_n)(un​), quelle expression donne la somme partielle d’indice mmm de la série associée ?

2. Une série a pour terme général un=nn+1u_n=\frac{n}{n+1}un​=n+1n​. Que peut-on conclure sur sa convergence à partir du comportement de unu_nun​ ?

3. Pour quelle valeur du paramètre qqq la série géométrique ∑n=0+∞qn\sum_{n=0}^{+\infty}q^n∑n=0+∞​qn converge-t-elle ?

4. Pour quel domaine de α\alphaα la série ∑n≥11nα\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^\alpha}∑n≥1​nα1​ converge-t-elle ?

5. Qu’est-ce qui caractérise une série à termes positifs ?

6. Lorsque εn→0\varepsilon_n\to0εn​→0, à quoi est équivalent 1−cos⁡(εn)1-\cos(\varepsilon_n)1−cos(εn​) ?

7. Quel est le rôle du critère de comparaison asymptotique fondé sur l’équivalence de deux suites non négatives ?

8. Quelle différence distingue le critère pratique de Riemann appliqué avec α>1\alpha>1α>1 de son application avec α≤1\alpha\le1α≤1 ?

9. Pour une série à termes strictement positifs, le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}un​un+1​​ tend vers une limite supérieure à 1. Quelle conclusion donne le critère de d’Alembert ?

10. Pourquoi commence-t-on par examiner le terme général avant de choisir un critère de convergence pour une série ?

11. Une série converge vers une somme SSS et l’on connaît sa somme partielle SnS_nSn​. Comment calcule-t-on son reste d’ordre nnn ?

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1. Pour une suite de termes $(u_n)$ , quelle expression donne la somme partielle d’indice $m$ de la série associée ?

2. Une série a pour terme général $u_n=\frac{n}{n+1}$ . Que peut-on conclure sur sa convergence à partir du comportement de $u_n$ ?

3. Pour quelle valeur du paramètre $q$ la série géométrique $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n$ converge-t-elle ?

4. Pour quel domaine de $\alpha$ la série $\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^\alpha}$ converge-t-elle ?

6. Lorsque $\varepsilon_n\to0$ , à quoi est équivalent $1-\cos(\varepsilon_n)$ ?

8. Quelle différence distingue le critère pratique de Riemann appliqué avec $\alpha>1$ de son application avec $\alpha\le1$ ?

9. Pour une série à termes strictement positifs, le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers une limite supérieure à 1. Quelle conclusion donne le critère de d’Alembert ?

11. Une série converge vers une somme $S$ et l’on connaît sa somme partielle $S_n$ . Comment calcule-t-on son reste d’ordre $n$ ?