Fiche de révision : Séries numériques à termes positifs

📋 Plan du Cours

1. Sommes partielles et convergence des séries
2. Séries géométriques et séries de Riemann
3. Séries à termes positifs et comparaisons
4. Notations asymptotiques et équivalents
5. Critères de comparaison asymptotique
6. Critère pratique de Riemann
7. Critères de d’Alembert et de Cauchy
8. Stratégie de choix des critères

📖 1. Sommes partielles et convergence des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : La série de terme général uₙ est la suite de ses sommes partielles $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$.
• Convergence d’une série : La série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $S_n$ admet une limite finie dans ℝ ou ℂ.
• Reste d’ordre n : Le reste d’ordre n d’une série convergente est $R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$ et tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque $\sum u_n$ converge vers S, sa somme vérifie $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=S=\lim_{n\to+\infty}S_n$.

📌 Si une série converge, alors son terme général vérifie $u_n\to0$ ; si uₙ ne tend pas vers 0 ou n’a pas de limite, la série diverge.

Compléments

• Comme $\cos(1/n)\to1\ne0$, la série $\sum_{n\ge1}\cos(1/n)$ diverge par le critère du terme général.

📖 2. Séries géométriques et séries de Riemann

★ À maîtriser

📌 La série géométrique $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$.

📐 Formule - Lorsque $|q|<1$, la somme de la série géométrique est $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$.

📌 La série de Riemann $\sum_{n\ge1}\frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

Compléments

• La série $\sum_{n=0}^{+\infty}(1/2)^n$ converge et sa somme vaut 2.

• La série harmonique $\sum_{n\ge1}\frac1n$ diverge.

• La série $\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}$ converge et sa somme vaut $\frac{\pi^2}{6}$.

• La série $\sum_{n\ge1}\frac1{\sqrt n}$ diverge car son exposant de Riemann vaut $\alpha=1/2\le1$.

💡 Astuce mémo

Géométrique : comparer |q| à 1 ; Riemann : comparer α à 1.

📖 3. Séries à termes positifs et comparaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Série à termes positifs : Une série à termes positifs est une série dont chaque terme vérifie $u_n\ge0$.

★ À maîtriser

• Pour une série à termes positifs, la suite des sommes partielles est croissante car $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}\ge0$.

📌 Pour une série à termes positifs, la série converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée ; si elle n’est pas majorée, les sommes partielles tendent vers +∞.

📌 Si, à partir d’un certain rang, $0\le u_n\le v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge et sa somme est inférieure ou égale à celle de $\sum v_n$.

Compléments

📌 Si, à partir d’un certain rang, $0\le u_n\le v_n$ et $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge.

• Pour n≥1, $\frac1{3^n+n}\le\frac1{3^n}$ et la série géométrique de raison 1/3 converge, donc $\sum_{n\ge1}\frac1{3^n+n}$ converge.

• Pour n≥3, $\frac{\ln n}{n}\ge\frac1n$ ; la divergence de la série harmonique entraîne donc celle de $\sum_{n\ge3}\frac{\ln n}{n}$.

💡 Astuce mémo

Termes positifs → sommes partielles croissantes → convergence si elles sont majorées.

📖 4. Notations asymptotiques et équivalents

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence asymptotique : Deux suites vérifient $u_n\sim v_n$ si et seulement si $u_n/v_n\to1$, ce qui équivaut à $u_n=v_n+o(v_n)$.
• Grand O : Pour une suite vₙ strictement positive à partir d’un certain rang, $u_n=O(v_n)$ signifie que le quotient $u_n/v_n$ est borné au voisinage de l’infini.

📝 Points essentiels

• Pour α>0, β>0 et a>1, les croissances vérifient $(\ln n)^\beta=o(n^\alpha),\quad n^\beta=o(a^n),\quad a^n=o(n!),\quad n!=o(n^n)$.

📐 Formule - L’approximation de Stirling est $n!\sim\left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}$.

• Lorsque εₙ→0, les équivalences usuelles sont $\sin\varepsilon_n\sim\tan\varepsilon_n\sim\arcsin\varepsilon_n\sim\arctan\varepsilon_n\sim\sinh\varepsilon_n\sim\tanh\varepsilon_n\sim\varepsilon_n$.

• Lorsque εₙ→0, on a $1-\cos\varepsilon_n\sim\frac{\varepsilon_n^2}{2}$ et $\cosh\varepsilon_n-1\sim\frac{\varepsilon_n^2}{2}$.

• Lorsque εₙ→0, on a $e^{\varepsilon_n}-1\sim\ln(1+\varepsilon_n)\sim\varepsilon_n$.

• Pour α réel non nul et εₙ→0, $(1+\varepsilon_n)^\alpha-1\sim\alpha\varepsilon_n$.

• Lorsque εₙ→0, $\sqrt{1+\varepsilon_n}-1\sim\varepsilon_n/2$.

📌 On ne peut pas additionner terme à terme des équivalents et on n’écrit pas $u_n\sim0$.

📖 5. Critères de comparaison asymptotique

★ À maîtriser

📌 Pour des suites non négatives, si $u_n=O(v_n)$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

📌 Pour des suites non négatives équivalentes, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature, c’est-à-dire qu’elles convergent ou divergent ensemble.

Compléments

• Comme $\frac1{1+2n}\sim\frac1{2n}=(1/2)^n$, la série $\sum_{n\ge1}\frac1{1+2n}$ converge par comparaison avec une série géométrique.

• Pour $u_n=ne^{-\sqrt n}$, on a $n^2u_n=n^3e^{-\sqrt n}\to0$, donc $u_n=o(1/n^2)$ et $\sum u_n$ converge par comparaison avec la série de Riemann d’exposant 2.

📖 6. Critère pratique de Riemann

★ À maîtriser

📌 Pour une suite non négative, si un α>1 vérifie $n^\alpha u_n\to\ell\in\mathbb R$, alors $\sum u_n$ converge.

📌 Pour une suite non négative, si un α≤1 vérifie $n^\alpha u_n\to\ell\in]0,+\infty]$, alors $\sum u_n$ diverge.

Compléments

• Pour $u_n=1/(n^2-3n+5)$, $n^2u_n\to1$ ; le critère pratique avec α=2>1 entraîne la convergence de $\sum u_n$.

• Pour $u_n=1/(5n+\sqrt n)$, $nu_n\to1/5>0$ ; le critère pratique avec α=1 entraîne la divergence de $\sum u_n$.

📖 7. Critères de d’Alembert et de Cauchy

★ À maîtriser

📌 Pour une suite strictement positive telle que $u_{n+1}/u_n\to\ell$, le critère de d’Alembert conclut à la convergence si ℓ<1, à la divergence triviale si ℓ>1, et ne conclut pas si ℓ=1.

📌 Pour une suite non négative telle que $u_n^{1/n}\to\ell$, le critère de Cauchy conclut à la convergence si ℓ<1, à la divergence triviale si ℓ>1, et ne conclut pas si ℓ=1.

Compléments

• Le critère de d’Alembert est à privilégier pour les termes contenant des factorielles ou des exponentielles de la forme aⁿ.

• Pour $u_n=1/n!$, $u_{n+1}/u_n=1/(n+1)\to0<1$, donc $\sum 1/n!$ converge par le critère de d’Alembert.

• Le critère de Cauchy est à privilégier lorsque le terme général est une puissance globale de la forme $(a_n)^n$.

• Pour $u_n=((2n+1)/(3n+7))^n$, $u_n^{1/n}\to2/3<1$, donc $\sum u_n$ converge par le critère de Cauchy.

📌 Pour $u_n=(a+n^{-p})^n$ avec a>0 et p>0, le critère de Cauchy conclut si a<1 à la convergence et si a>1 à la divergence ; si a=1, il est muet et le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge.

📌 Si $u_{n+1}/u_n\to\ell$ pour une suite strictement positive, alors $u_n^{1/n}\to\ell$ ; la réciproque est fausse, de sorte que le critère de Cauchy est strictement plus fort que celui de d’Alembert.

• Si $u_n=(2/3)^n$ pour n pair et $u_n=2(2/3)^n$ pour n impair, le rapport $u_{n+1}/u_n$ alterne entre 4/3 et 1/3 sans limite, tandis que $u_n^{1/n}\to2/3<1$ ; le critère de Cauchy garantit la convergence de la série.

💡 Astuce mémo

Factorielle ou exponentielle : d’Alembert ; puissance d’exposant n : Cauchy.

📖 8. Stratégie de choix des critères

★ À maîtriser

• Pour étudier la nature d’une série, la stratégie commence par le terme général, puis sélectionne un critère adapté à sa forme.

Compléments

• Les exercices proposent d’étudier $\sum\frac{\sqrt{n+1}}{n^2+4}$ par équivalence et série de Riemann, $\sum\sin(1/n^2)$ par équivalence usuelle, $\sum n/2^n$ par d’Alembert et $\sum1/(\ln n)^n$ pour n≥2 par Cauchy ; ces quatre séries convergent.

• Les critères de comparaison, de d’Alembert et de Cauchy présentés s’appliquent directement aux séries à termes de signe constant, généralement non négatifs.

💡 Astuce mémo

Tester d’abord uₙ → 0, puis choisir le critère selon la forme des termes.