Séries numériques à termes positifs

📋 Plan du Cours

1. Sommes partielles et convergence des séries
2. Séries géométriques et séries de Riemann
3. Séries à termes positifs et comparaisons
4. Notations asymptotiques et équivalents
5. Critères de comparaison asymptotique
6. Critère pratique de Riemann
7. Critères de d’Alembert et de Cauchy
8. Stratégie de choix des critères

📖 1. Sommes partielles et convergence des séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : La série de terme général uₙ est la suite de ses sommes partielles $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$.
• Convergence d’une série : La série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $S_n$ admet une limite finie dans ℝ ou ℂ.
• Reste d’ordre n : Le reste d’ordre n d’une série convergente est $R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$ et tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque $\sum u_n$ converge vers S, sa somme vérifie $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=S=\lim_{n\to+\infty}S_n$.

📌 Si une série converge, alors son terme général vérifie $u_n\to0$ ; si uₙ ne tend pas vers 0 ou n’a pas de limite, la série diverge.

Compléments