Fiche de révision : Séries numériques et critères de convergence

📋 Plan du Cours

1. Définitions et sommes partielles
2. Séries de référence
3. Séries complexes et opérations
4. Séries à termes positifs
5. Comparaisons et règle de Riemann
6. Convergence absolue et alternance
7. Produits, probabilités et Abel

📖 1. Définitions et sommes partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série : Suite de couples formés par a_n et la somme partielle $S_n=\sum_{k=0}^{n}a_k$.
• Convergence d’une série : Lorsque la suite de ses sommes partielles converge, et sa somme est alors la limite $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}S_n$.
• Reste d’une série : Pour une série convergente de somme S, $r_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$.

📝 Points essentiels

📌 La convergence ou la divergence d’une série ne change pas lorsqu’on supprime un nombre fini de ses premiers termes, mais sa somme peut changer.

💡 Astuce mémo

Terme général → sommes partielles → convergence → somme

📖 2. Séries de référence

★ À maîtriser

📐 Formule — La série géométrique $\sum_{n\geq 0}x^n$ converge si et seulement si $|x|<1$, et sa somme vaut alors $\frac{1}{1-x}$.

📌 La série de Riemann $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

• La série harmonique $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}$ diverge.

Compléments

📐 Formule — Pour $|x|<1$, une série géométrique tronquée vérifie $\sum_{n\geq n_0}x^n=\frac{x^{n_0}}{1-x}$.

💡 Astuce mémo

Géométrique : |x|<1 ; Riemann : α>1

📖 3. Séries complexes et opérations

★ À maîtriser

• Pour une série complexe de terme général u_n=a_n+ib_n, la série converge si et seulement si les séries réelles de termes généraux a_n et b_n convergent.

• La somme de deux séries convergentes est convergente et la multiplication d’une série convergente par un scalaire réel ou complexe conserve la convergence.

• Si une série $\sum u_n$ converge, alors son terme général vérifie $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$.

Compléments

📐 Formule — Si les séries de termes généraux a_n et b_n convergent, alors $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n+i\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$.

📖 4. Séries à termes positifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Série à termes positifs : Série vérifiant u_n≥0 pour tout n, ou au moins à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

📌 Une série à termes positifs à partir d’un certain rang converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

📌 Si 0≤u_n≤v_n à partir d’un certain rang et si la série de terme général v_n converge, alors celle de terme général u_n converge.

Compléments

📌 Si 0≤u_n≤v_n à partir d’un certain rang et si la série de terme général u_n diverge, alors celle de terme général v_n diverge.

💡 Astuce mémo

Positivité → sommes partielles croissantes → majoration ou convergence

📖 5. Comparaisons et règle de Riemann

★ À maîtriser

📌 Si u_n et v_n sont strictement positifs à partir d’un certain rang et $u_n\sim v_n$, alors les deux séries sont de même nature.

📌 Si un terme positif vérifie $u_n\sim\frac{k}{n^\alpha}$ avec k>0 et α>0, alors sa série converge si et seulement si α>1.

📐 Formule — La série de Bertrand $\sum_{n>1}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ converge si et seulement si $\alpha>1$ ou $\alpha=1$ et $\beta>1$.

📌 Pour une série à termes positifs non nuls, si $\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=l$, alors elle converge si l<1, diverge grossièrement si l>1, et le critère ne permet pas de conclure si l=1.

Compléments

📌 Pour une série à termes positifs, il suffit que n^αu_n soit majorée pour un α>1 afin d’obtenir la convergence.

💡 Astuce mémo

Équivalence : même nature ; négligeabilité : conclusion seulement dans un sens

📖 6. Convergence absolue et alternance

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : Lorsque la série de terme général |u_n| converge.
• Série alternée : Lorsque son terme général s’écrit u_n=±(-1)^nv_n avec v_n≥0, éventuellement à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

📌 Toute série réelle ou complexe absolument convergente est convergente.

📌 Une série alternée converge si la suite des valeurs absolues de ses termes est décroissante et tend vers zéro, et son reste vérifie $|R_n|\leq |u_{n+1}|$.

💡 Astuce mémo

Absolue ⇒ convergence ; alternée peut converger sans convergence absolue

📖 7. Produits, probabilités et Abel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de Cauchy : Série de terme général $w_n=\sum_{i=0}^{n}u_iv_{n-i}$.
• Loi de Poisson : Variable aléatoire X telle que X(Ω)=N et $P(X=n)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}$ pour tout n∈N.
• Loi géométrique : Variable aléatoire X telle que X(Ω)=N* et $P(X=n)=p(1-p)^{n-1}$ pour tout n∈N*.

★ À maîtriser

📌 Le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est absolument convergent et sa somme est le produit des deux sommes.

📐 Formule — La série exponentielle converge pour tout réel x et vérifie $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$.

📐 Formule — La transformation d’Abel donne $\sum_{k=1}^{n}u_kv_k=S_nv_n-S_0v_1+\sum_{k=1}^{n-1}S_k(v_k-v_{k+1})$ avec $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$.

📌 Si la suite des sommes partielles S_n est bornée et si v_n est positive, décroissante et tend vers zéro, alors la série $\sum u_nv_n$ converge.

Compléments

📐 Formule — Pour une variable aléatoire géométrique de paramètre p, on a $E(X)=\frac{1}{p}$ et $V(X)=\frac{1-p}{p^2}$.

💡 Astuce mémo

Cauchy → exponentielle → lois géométrique et de Poisson → Abel

📊 Tableaux de synthèse

Critères de convergence des séries positives