Séries numériques et critères de convergence

📋 Plan du Cours

1. Définitions et sommes partielles
2. Séries de référence
3. Séries complexes et opérations
4. Séries à termes positifs
5. Comparaisons et règle de Riemann
6. Convergence absolue et alternance
7. Produits, probabilités et Abel

📖 1. Définitions et sommes partielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Série : Suite de couples formés par a_n et la somme partielle $S_n=\sum_{k=0}^{n}a_k$.
• Convergence d’une série : Lorsque la suite de ses sommes partielles converge, et sa somme est alors la limite $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}S_n$.
• Reste d’une série : Pour une série convergente de somme S, $r_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$.

📝 Points essentiels

📌 La convergence ou la divergence d’une série ne change pas lorsqu’on supprime un nombre fini de ses premiers termes, mais sa somme peut changer.

💡 Astuce mémo

Terme général → sommes partielles → convergence → somme

📖 2. Séries de référence

📐 Formule — La série géométrique $\sum_{n\geq 0}x^n$ converge si et seulement si $|x|<1$, et sa somme vaut alors $\frac{1}{1-x}$.

📌 La série de Riemann $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.