QCM : Somme de vecteurs — 7 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour trois points A, B et C, quelle égalité exprime la relation de Chasles ?

AB→+AC→=BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}
AC→+BC→=AB→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}
BA→+BC→=AC→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

Explication

La relation de Chasles additionne deux vecteurs dont l’extrémité du premier coïncide avec l’origine du second, donnant le vecteur reliant le premier point au dernier. L’égalité avec AB→+AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} ne respecte pas cet enchaînement.

2. Que vaut la somme AB→+BA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA} ?

0⃗\vec{0}
BA→\overrightarrow{BA}
AA→+AB→\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}
AB→\overrightarrow{AB}

$$\vec{0}$$

Explication

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont opposés, donc leur somme est le vecteur nul, également noté AA→\overrightarrow{AA}. La somme ne conserve pas l’un des deux vecteurs, car chacun annule l’autre.

3. Comment construit-on graphiquement la somme de deux vecteurs par la relation de Chasles ?

On juxtapose les origines des vecteurs puis on relie leurs extrémités correspondantes.
On place les vecteurs sur une même origine puis on trace une diagonale entre leurs extrémités.
On enchaîne les vecteurs en faisant coïncider l’extrémité du premier avec l’origine du second.
On inverse le sens du second vecteur avant de relier les deux origines.

On enchaîne les vecteurs en faisant coïncider l’extrémité du premier avec l’origine du second.

Explication

La construction par Chasles consiste à placer le second vecteur à partir de l’extrémité du premier, puis à relier l’origine initiale à l’extrémité finale. La construction fondée sur une même origine et une diagonale correspond plutôt au parallélogramme.

4. Un représentant de u⃗\vec{u} est suivi d’un représentant de v⃗\vec{v} ; quel vecteur représente alors u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v} ?

Le vecteur reliant l’origine de v⃗\vec{v} à l’extrémité de u⃗\vec{u}.
Le vecteur reliant les deux origines des représentants.
Le vecteur reliant l’origine de u⃗\vec{u} à l’extrémité de v⃗\vec{v}.
Le vecteur reliant les deux extrémités des représentants.

Le vecteur reliant l’origine de $$\vec{u}$$ à l’extrémité de $$\vec{v}$$.

Explication

Lorsque les représentants sont suivis, le déplacement global va de l’origine du premier vecteur à l’extrémité du second. Relier les deux origines ne décrit pas le déplacement total, car ces points ne correspondent pas au début et à la fin de l’enchaînement.

5. Qu'est-ce que la relation de Chasles en géométrie vectorielle?

Une règle qui permet de construire un vecteur en traçant un parallélogramme.
Une propriété qui indique que la somme d’un vecteur et de son opposé est le vecteur nul.
Une formule qui relie trois points A, B et C par la somme de leurs vecteurs respectifs, AB+BC=AC\text{AB} + \text{BC} = \text{AC}.
Une méthode pour construire la somme de deux vecteurs en les enchaînant.

Une formule qui relie trois points A, B et C par la somme de leurs vecteurs respectifs, $$\text{AB} + \text{BC} = \text{AC}$$.

Explication

La relation de Chasles exprime que pour trois points A, B et C, la somme des vecteurs AB\text{AB} et BC\text{BC} est égale au vecteur AC\text{AC}. La règle du parallélogramme et la construction par enchaînement sont des méthodes différentes, non la définition de la relation de Chasles.

6. Quelle formule exprime la relation de Chasles pour trois points A, B et C en géométrie vectorielle?

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
AB→−BC→=AC→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
AB→×BC→=AC→\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
AB→÷BC→=AC→\overrightarrow{AB}\div\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

Explication

La formule de la relation de Chasles indique que la somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} donne le vecteur AC→\overrightarrow{AC}. La première option est donc correcte, contrairement aux autres qui utilisent des opérations incorrectes ou des symboles inappropriés.

7. Quelle est la fonction principale de la règle du parallélogramme en géométrie vectorielle?

Elle sert à calculer le produit scalaire de deux vecteurs.
Elle sert à mesurer la longueur d’un vecteur dans un plan.
Elle permet de déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux.
Elle permet de construire la somme de deux vecteurs à partir de leur représentation graphique.

Elle permet de construire la somme de deux vecteurs à partir de leur représentation graphique.

Explication

La règle du parallélogramme a pour fonction de représenter graphiquement la somme de deux vecteurs en construisant un parallélogramme dont la diagonale issue du point de départ représente cette somme. La mesure de longueurs ou le produit scalaire ne sont pas ses objectifs principaux.

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Quelle relation vectorielle relie trois points A, B et C ?

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Comment s'exprime l'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.

Comment construit-on la somme de deux vecteurs selon Chasles ?

On enchaîne les vecteurs en faisant coïncider l’extrémité du premier avec l’origine du second.

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